ધારો કે $E$ અને $F$ બે સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે. $E$ અને $F$ બંને બને તેની સંભાવના $\frac{1}{12}$ છે અને $E$ કે $F$ બંનેમાંથી એક પણ ન બને તેની સંભાવના $\frac{1}{2}$ છે,તો

એક છોકરો એક નિષ્પક્ષ પાસો ફેંકે છે. જ્યારે પણ તેને પાસા પર $1$ મળે છે, ત્યારે તેને તરત જ ફરીથી પાસો ફેંકવાની તક મળે છે. આ પ્રક્રિયામાં છોકરાને $7$ નો સ્કોર મળે તેની સંભાવના કેટલી છે?

બે ખેલાડીઓ $A$ અને $B$ વારાફરતી $3$ સિક્કા એકસાથે ઉછાળે છે. જે ખેલાડીને પહેલા $2$ છાપ અને $1$ કાંટો મળે, તે રમત જીતે છે. જો રમત કોઈ એક જીતે ત્યાં સુધી ચાલુ રહે અને જો $A$ રમતની શરૂઆત કરે, તો $B$ રમત જીતે તેની સંભાવના કેટલી છે?

એક જહાજમાં ત્રણ એન્જિન $E_1, E_2$ અને $E_3$ ફીટ કરેલા છે. એન્જિન એકબીજાથી સ્વતંત્ર રીતે અનુક્રમે $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}$ અને $\frac{1}{4}$ સંભાવના સાથે કાર્ય કરે છે. જહાજ કાર્યરત રહે તે માટે તેના ઓછામાં ઓછા બે એન્જિન કાર્યરત હોવા જોઈએ. ધારો કે $X$ એ ઘટના દર્શાવે છે કે જહાજ કાર્યરત છે અને $X_1, X_2$ અને $X_3$ એ ઘટનાઓ દર્શાવે છે કે અનુક્રમે એન્જિન $E_1, E_2$ અને $E_3$ કાર્યરત છે. નીચેનામાંથી કયું (કયા) સાચું છે?
$(A) P(X_1^c \mid X) = \frac{3}{16}$
$(B) P(\text{બરાબર બે એન્જિન કાર્યરત છે} \mid X) = \frac{7}{8}$
$(C) P(X \mid X_2) = \frac{5}{16}$
$(D) P(X \mid X_1) = \frac{7}{16}$

જો ધન પૂર્ણાંકોના ગણમાંથી ચાર ધન પૂર્ણાંકો યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે,તો તેમના ગુણાકારનો એકમનો અંક $1, 3, 7,$ અથવા $9$ હોય તેની સંભાવના કેટલી છે?

$P$ એ $70\%$ કિસ્સાઓમાં સત્ય બોલે છે અને $Q$ એ $80\%$ કિસ્સાઓમાં સત્ય બોલે છે. તેઓ કેટલી ટકાવારીમાં એક જ હકીકત જણાવવા માટે સહમત થવાની શક્યતા ધરાવે છે ($\%$ માં)?