मान लीजिए कि f,x = 0 पर अवकलनीय है और f'(0) = | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $f$,$x = 0$ पर अवकलनीय है और $f'(0) = 1$ है। हमें सीमा का मान ज्ञात करना है: $L = \lim_{h 	o 0} \frac{f(h) - f(-2h)}{h}$. अंश में

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$3$

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(A) दिया गया है कि $f$,$x = 0$ पर अवकलनीय है और $f'(0) = 1$ है। हमें सीमा का मान ज्ञात करना है: $L = \lim_{h 	o 0} \frac{f(h) - f(-2h)}{h}$. अंश में $f(0)$ जोड़ने और घटाने पर,हमें प्राप्त होता है: $L = \lim_{h 	o 0} \frac{f(h) - f(0) - (f(-2h) - f(0))}{h}$. $L = \lim_{h 	o 0} \left( \frac{f(h) - f(0)}{h} - \frac{f(-2h) - f(0)}{h} ight)$. $L = \lim_{h 	o 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} - \lim_{h 	o 0} \frac{f(-2h) - f(0)}{h}$. चूंकि $f'(0) = \lim_{h 	o 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = 1$,इसलिए पहला पद $1$ है। दूसरे पद के लिए,मान लीजिए $k = -2h$ है। जैसे $h 	o 0$,वैसे ही $k 	o 0$। $\lim_{h 	o 0} \frac{f(-2h) - f(0)}{h} = \lim_{k 	o 0} \frac{f(k) - f(0)}{-k/2} = -2 \lim_{k 	o 0} \frac{f(k) - f(0)}{k} = -2 f'(0) = -2(1) = -2$. अतः,$L = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3$.

मान लीजिए कि $f$,$x = 0$ पर अवकलनीय है और $f'(0) = 1$ है। तो $\lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(-2h)}{h} = $

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