मान लीजिए f(x) = frac{x cdot 2^x - x}{1 - cos | vedclass

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Question

(D) $f(x) = \frac{x(2^x - 1)}{1 - \cos x} = \frac{x(2^x - 1)}{2 \sin^2(x/2)}$ के लिए।जब $x 	o 0$,तब $f(x) = \frac{x(2^x - 1)}{2 (x/2)^2} = \frac{x(2^

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$(B)$ और $(C)$ दोनों सही हैं

Vedclass · Answer

(D) $f(x) = \frac{x(2^x - 1)}{1 - \cos x} = \frac{x(2^x - 1)}{2 \sin^2(x/2)}$ के लिए।जब $x 	o 0$,तब $f(x) = \frac{x(2^x - 1)}{2 (x/2)^2} = \frac{x(2^x - 1)}{x^2/2} = 2 \frac{2^x - 1}{x}$।मानक सीमा $\lim_{x 	o 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a$ का उपयोग करते हुए,हमें $\lim_{x 	o 0} f(x) = 2 \ln 2 = \ln 4$ प्राप्त होता है।अतः,विकल्प $(C)$ सही है।$g(x) = 2^x \sin \left( \frac{\ln 2}{2^x} ight)$ के लिए,जब $x 	o \infty$,तब $2^x 	o \infty$,इसलिए $\frac{\ln 2}{2^x} 	o 0$।मान लीजिए $u = \frac{\ln 2}{2^x}$,तो $g(x) = \frac{\ln 2}{u} \sin(u) = \ln 2 \cdot \frac{\sin u}{u}$।जब $x 	o \infty$,तब $u 	o 0$,इसलिए $\lim_{x 	o \infty} g(x) = \ln 2 \cdot 1 = \ln 2$।अतः,विकल्प $(B)$ सही है।इसलिए,$(D)$ सही विकल्प है।

मान लीजिए $f(x) = \frac{x \cdot 2^x - x}{1 - \cos x}$ और $g(x) = 2^x \sin \left( \frac{\ln 2}{2^x} \right)$,तो:

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