मान लीजिए (7 + 4sqrt{3})^n = p + beta,जहाँ n | vedclass

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Question

(D) मान लीजिए $x = (7 + 4\sqrt{3})^n = p + \beta$ है। चूंकि $7 + 4\sqrt{3} > 1$,इसलिए $p + \beta$ एक बड़ी संख्या है। $f = (7 - 4\sqrt{3})^n$ पर विचार

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इनमें से कोई नहीं

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(D) मान लीजिए $x = (7 + 4\sqrt{3})^n = p + \beta$ है। चूंकि $7 + 4\sqrt{3} > 1$,इसलिए $p + \beta$ एक बड़ी संख्या है। $f = (7 - 4\sqrt{3})^n$ पर विचार करें। चूंकि $0 द्विपद प्रमेय का उपयोग करके $(7 + 4\sqrt{3})^n + (7 - 4\sqrt{3})^n$ का विस्तार करने पर,सभी अपरिमेय पद कट जाते हैं और परिणाम एक सम पूर्णांक $2k$ प्राप्त होता है। अतः,$(p + \beta) + f = 2k$ है। चूंकि $p$ एक पूर्णांक है और $0 इसलिए,$(1 - \beta)(p + \beta) = f(p + \beta) = (7 - 4\sqrt{3})^n (7 + 4\sqrt{3})^n = (49 - 48)^n = 1^n = 1$ है। चूंकि $1$ न तो अभाज्य है और न ही भाज्य,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

मान लीजिए $(7 + 4\sqrt{3})^n = p + \beta$,जहाँ $n$ और $p$ धनात्मक पूर्णांक हैं और $\beta \in (0, 1)$ है। तो $(1 - \beta)(p + \beta)$ क्या है?

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