ધારો કે $h$ એ વિવૃત અંતરાલ $J$ પર બે વાર સતત વિકલનીય ધન વિધેય છે. દરેક $x \in J$ માટે $g(x) = \ln(h(x))$ લો. ધારો કે દરેક $x \in J$ માટે $(h'(x))^2 > h''(x) h(x)$ છે. તો

વિધેય $f(x) = \cos^{-1}\left(\sin \sqrt{\frac{1+x}{2}}\right) + x^x$ નું $x$ ની સાપેક્ષે $x=1$ આગળ પ્રથમ વિકલિત શું થાય?

ધારો કે $f(x) = \lim_{n}$ ${\rightarrow \infty} \left( \frac{n^n(x+n)(x+\frac{n}{2}) \cdots (x+\frac{n}{n})}{n!(x^2+n^2)(x^2+\frac{n^2}{4}) \cdots (x^2+\frac{n^2}{n^2})} \right)^{\frac{x}{n}}$,તમામ $x > 0$ માટે. તો
$(A)$ $f(\frac{1}{2}) \geq f(1)$
$(B)$ $f(\frac{1}{3}) \leq f(\frac{2}{3})$
$(C)$ $f^{\prime}(2) \leq 0$
$(D)$ $\frac{f^{\prime}(3)}{f(3)} \geq \frac{f^{\prime}(2)}{f(2)}$

$(i)$ $f(x)$ સતત છે અને તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે વ્યાખ્યાયિત છે.
$(ii)$ $f'(-5) = 0$; $f'(2)$ વ્યાખ્યાયિત નથી અને $f'(4) = 0$.
$(iii)$ $(-5, 12)$ એ $f(x)$ ના આલેખ પરનું એક બિંદુ છે.
$(iv)$ $f''(2)$ વ્યાખ્યાયિત નથી,પરંતુ $f''(x)$ બાકીના દરેક જગ્યાએ ઋણ છે.
$(v)$ $f'(x)$ ના ચિહ્નો નીચે મુજબ છે:
| $x$ | $(-\infty, -5)$ | $-5$ | $(-5, 2)$ | $2$ | $(2, 4)$ | $4$ | $(4, \infty)$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | વ્યાખ્યાયિત નથી | $+$ | $0$ | $-$ |
$y = f(x)$ નો સંભવિત આલેખ કયો છે?

ધારો કે $f(x) = \begin{cases} \int_{0}^{x} |1-t| dt, & x > 1 \\ x - \frac{1}{2}, & x \leq 1 \end{cases}$. તો:

નીચેનામાંથી કયું સત્ય નથી?