मान लीजिए g(x) = 2f(x/2) + f(1 - x) और 0 le x | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $g(x) = 2f(x/2) + f(1 - x)$।$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $g'(x) = 2f'(x/2) \cdot (1/2) + f'(1 - x) \cdot (-1) = f'(x/2) - f'(1 -

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$(B)$ और $(C)$ दोनों

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(D) दिया गया है $g(x) = 2f(x/2) + f(1 - x)$।$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $g'(x) = 2f'(x/2) \cdot (1/2) + f'(1 - x) \cdot (-1) = f'(x/2) - f'(1 - x)$ प्राप्त होता है।दिया गया है $f''(x) $g(x)$ के वर्धमान होने के लिए,हमें $g'(x) > 0$ की आवश्यकता है।$f'(x/2) - f'(1 - x) > 0 \implies f'(x/2) > f'(1 - x)$।चूंकि $f'(x)$ निरंतर घटता है,इसलिए $f'(a) > f'(b) \implies a अतः,$x/2 इस प्रकार,$g(x)$,$[0, 2/3)$ में बढ़ता है।$g(x)$ के ह्रासमान होने के लिए,हमें $g'(x) $f'(x/2) - f'(1 - x) चूंकि $f'(x)$ निरंतर घटता है,इसलिए $f'(a)  b$।अतः,$x/2 > 1 - x \implies 3x/2 > 1 \implies x > 2/3$।इस प्रकार,$g(x)$,$(2/3, 1]$ में घटता है।अतः,$(B)$ और $(C)$ दोनों सही हैं।

मान लीजिए $g(x) = 2f(x/2) + f(1 - x)$ और $0 \le x \le 1$ के लिए $f''(x) < 0$ है। तो $g(x)$:

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यदि $f(x) = \begin{cases} 0, & x = 0 \\ x - 3, & x > 0 \end{cases}$ है,तो $f(x)$ है:

एक फलन $y = f(x)$,$x = \frac{1}{1 + t^2}$ और $y = \frac{1}{t(1 + t^2)}$ द्वारा सभी $t > 0$ के लिए दिया गया है,तो $f$ है:

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