मान लीजिए $\cos ^{-1}(x) + \cos ^{-1} (2x) + \cos ^{-1}(3x) = \pi.$ यदि $x$ त्रिघात समीकरण $ax^3 + bx^2 + cx - 1 = 0$ को संतुष्ट करता है,तो $(a + b + c)$ का मान है -

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{1 - \sqrt x }}{{{{({{\cos }^{ - 1}}x)}^2}}} = $

व्यंजक $\lfloor \tan^{-1} x - \tan^{-1} y \rfloor - \lfloor \sin^{-1} u - \sin^{-1} v \rfloor$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए,जहाँ $\lfloor . \rfloor$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है और $x, y, u, v$ स्वतंत्र वास्तविक चर हैं।

समीकरण $\theta=\tan ^{-1}(2 \tan \theta)-\frac{1}{2} \sin ^{-1}\left(\frac{6 \tan \theta}{9+\tan ^2 \theta}\right)$ के वास्तविक हलों की कुल संख्या क्या है? $($यहाँ,प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन $\sin ^{-1} x$ और $\tan ^{-1} x$ क्रमशः $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ और $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ में मान ग्रहण करते हैं.$)$

$\pi + \left(\sin^{-1} \frac{4}{5} + \sin^{-1} \frac{5}{13} + \sin^{-1} \frac{16}{65}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\theta = 2 \tan^{-1} \frac{1}{8} + 2 \tan^{-1} \frac{1}{5} + \tan^{-1} \frac{1}{7}$ और $\tan \frac{\theta}{2} = \sqrt{m} + \sqrt{n}$ है,जहाँ $m$ और $n$ ऐसे धनात्मक पूर्णांक हैं कि $m < n$,तो $(m^n + n^m)^{m+n}$ का मान ज्ञात कीजिए।