मान लीजिए $f(x) = \max(\sin x, \cos x)$ और $g(x) = \min(\cos x, \sin x)$ है। $h(y) = f(x)y^2 + ay + g(x)$ को परिभाषित करें। यदि समीकरण $h(y) = 0$ के सभी $x \in R$ के लिए वास्तविक मूल हैं,तो $a$ के मानों का पूर्ण समुच्चय ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ है। तो प्रत्येक $m, n \in S$ और $m \cdot n \in S$ के लिए $f(m \cdot n) = f(m) \cdot f(n)$ को संतुष्ट करने वाले संभावित फलनों $f: S \rightarrow S$ की संख्या $......$ है।

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ और $g: R \rightarrow R$ फलन हैं जो इस प्रकार परिभाषित हैं:
$f(x)=\begin{cases} x|x| \sin \left(\frac{1}{x}\right), & x \neq 0 \\ 0, & x=0 \end{cases}$ और $g(x)=\begin{cases} 1-2x, & 0 \leq x \leq \frac{1}{2} \\ 0, & \text{अन्यथा} \end{cases}$
मान लीजिए $a, b, c, d \in R$ हैं। फलन $h: R \rightarrow R$ को इस प्रकार परिभाषित करें:
$h(x)=a f(x)+b\left(g(x)+g\left(\frac{1}{2}-x\right)\right)+c(x-g(x))+d g(x), x \in R$
$List-I$ की प्रत्येक प्रविष्टि का $List-II$ की सही प्रविष्टि से मिलान करें।

$List-I$	$List-II$
$(P)$ यदि $a=0, b=1, c=0$ और $d=0$ है,तो	$(1)$ $h$ एकैकी (one-one) है
$(Q)$ यदि $a=1, b=0, c=0$ और $d=0$ है,तो	$(2)$ $h$ आच्छादक (onto) है
$(R)$ यदि $a=0, b=0, c=1$ और $d=0$ है,तो	$(3)$ $h$ $R$ पर अवकलनीय है
$(S)$ यदि $a=0, b=0, c=0$ और $d=1$ है,तो	$(4)$ $h$ का परिसर $[0,1]$ है
	$(5)$ $h$ का परिसर $\{0,1\}$ है

सही विकल्प है

मान लीजिए $f : R \to R$ एक फलन है जो $f(x) = - \frac{|x|^3 + |x|}{1 + x^2}$ द्वारा परिभाषित है; तो $f(x)$ का ग्राफ किस चतुर्थांश में स्थित है :-

यदि $f: R \rightarrow R$ को $f(x)=\frac{2020^x}{2020^x+\sqrt{2020}}$,$\forall x \in R$ के रूप में परिभाषित किया गया है,तो $\sum_{r=1}^{4039} 2 f\left(\frac{r}{4040}\right)=$

यदि $f: R \rightarrow [-1, 1]$ और $g: R \rightarrow A$ दो आच्छादक (surjective) प्रतिचित्रण हैं और $\sin \left(g(x) - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{f(x)}{2} \sqrt{4 - f^2(x)}$ है,तो $A =$