मान लीजिए a, b, c 0 और Delta = begin{vmatri | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $\Delta = \begin{vmatrix} a+b & b & c \ b+c & c & a \ c+a & a & b \end{vmatrix}$.$C_1 ightarrow C_1 - C_2$ लागू करने पर,हमें प्राप

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$\Delta = 0 \Rightarrow a + b + c = 0$

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(C) दिया गया है $\Delta = \begin{vmatrix} a+b & b & c \ b+c & c & a \ c+a & a & b \end{vmatrix}$.$C_1 ightarrow C_1 - C_2$ लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है $\Delta = \begin{vmatrix} a & b & c \ b & c & a \ c & a & b \end{vmatrix}$.सारणिक का विस्तार करने पर,$\Delta = a(bc - a^2) - b(b^2 - ac) + c(ab - c^2) = abc - a^3 - b^3 + abc + abc - c^3 = -(a^3 + b^3 + c^3 - 3abc)$.इसे $\Delta = -\frac{1}{2}(a+b+c)[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2]$ के रूप में भी लिखा जा सकता है।चूंकि $a, b, c > 0$,इसलिए $a+b+c > 0$ है। साथ ही,वर्गों का योग हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है। अतः,$\Delta \leq 0$.यदि $\Delta = 0$ है,तो या तो $a+b+c = 0$ (जो असंभव है क्योंकि $a, b, c > 0$) या $(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = 0$,जिसका अर्थ है $a=b=c$.इसलिए,कथन $\Delta = 0 \Rightarrow a+b+c = 0$ गलत है।

मान लीजिए $a, b, c > 0$ और $\Delta = \begin{vmatrix} a+b & b & c \\ b+c & c & a \\ c+a & a & b \end{vmatrix}$. तो निम्नलिखित में से कौन सा सही नहीं है?

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$\left| \begin{array}{ccc} 0 & p-q & p-r \\ q-p & 0 & q-r \\ r-p & r-q & 0 \end{array} \right| = $

$\left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \omega^2 & \omega \\ 1 & \omega & \omega^2 \end{array} \right| = $

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