माना $f$ एक अवकलनीय फलन है और $x = 3$ पर $y = f(x)$ के ग्राफ के अभिलंब का समीकरण $3y = x + 18$ है। यदि $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( {3 + {{\left( {4{{\tan }^{ - 1}}x - \pi } \right)}^2}} \right) - f\left( {3 + {{\left( {f\left( 3 \right) - x - 6} \right)}^2}} \right)}}{{{{\sin }^2}\left( {x - 1} \right)}}$ है,तो:

$f : (0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ द्वारा परिभाषित फलन $f(x) = |\log_{e} x| - |x - 1|$ के लिए निम्नलिखित तीन कथनों पर विचार करें:
$(I)$ $f$ सभी $x > 0$ के लिए अवकलनीय है।
$(II)$ $f$ अंतराल $(0, 1)$ में वर्धमान है।
$(III)$ $f$ अंतराल $(1, \infty)$ में ह्रासमान है।
तो:

निम्नलिखित में $[x]$,$x$ से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक को दर्शाता है। कॉलम $I$ में दिए गए फलनों को कॉलम $II$ में दिए गए गुणों के साथ सुमेलित कीजिए।

कॉलम $I$	कॉलम $II$
$(A)$ $f(x) = x|x|$	$(p)$ $(-1, 1)$ में सतत है
$(B)$ $f(x) = \sqrt{|x|}$	$(q)$ $(-1, 1)$ में अवकलनीय है
$(C)$ $f(x) = x + [x]$	$(r)$ $(-1, 1)$ में निरंतर वर्धमान है
$(D)$ $f(x) = |x - 1| + |x + 1|$	$(s)$ $(-1, 1)$ में कम से कम एक बिंदु पर अवकलनीय नहीं है

फलन $f(x) = \cos^{-1}\left(\sin \sqrt{\frac{1+x}{2}}\right) + x^x$ का $x$ के सापेक्ष $x=1$ पर प्रथम अवकलज क्या है?

निम्नलिखित में से किस ग्राफ में $x = c$ नतिपरिवर्तन बिंदु (point of inflection) है?

किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,$f_n:(0, \infty) \rightarrow R$ को $f_n(x)=\sum_{j=1}^n \tan ^{-1}\left(\frac{1}{1+(x+j)(x+j-1)}\right)$ के रूप में परिभाषित करें,जहाँ $x \in(0, \infty)$ है। तो,निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन $TRUE$ है/हैं?
$(A)$ $\sum_{j=1}^5 \tan ^2(f_j(0))=55$
$(B)$ $\sum_{j=1}^{10}(1+f_j'(0)) \sec ^2(f_j(0))=10$
$(C)$ किसी भी निश्चित धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,$\lim _{x \rightarrow \infty} \tan (f_n(x))=\frac{1}{n}$
$(D)$ किसी भी निश्चित धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,$\lim _{x \rightarrow \infty} \sec ^2(f_n(x))=1$