मान लीजिए $P(x) = x^3 - ax^2 + bx + c$ जहाँ $a, b, c \in \mathbb{R}$ के पूर्णांक मूल हैं और $P(6) = 3$ है,तो $a$ का मान क्या नहीं हो सकता है?

मान लीजिए $E$ उन सभी पूर्णांकों $a$ का समुच्चय है जिनके लिए परवलय $y = x^2 + 2ax + 2021$ का $x$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु परिमेय निर्देशांक रखता है। $E$ का सबसे बड़ा अवयव है

समीकरण $e^{\sin x} - 2e^{-\sin x} = 2$ के हलों की संख्या है

यदि समीकरण $2x^3 + ax^2 - 8x + b = 0$ के प्रत्येक मूल को $1$ से कम कर दिया जाए,तो प्राप्त नए समीकरण में $x^2$ वाला पद और अचर पद शून्य हो जाते हैं। मूल समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए।

यदि $\alpha$ और $\beta$ सबसे छोटे धनात्मक पूर्णांक हैं कि सभी $n \in N$ के लिए, $n^3+\alpha n$, $3$ से विभाज्य है और $n^3-\beta n$, $6$ से विभाज्य है, तो $\alpha+\beta=$

मान लीजिए $S = \{ \sin^2 2\theta : (\sin^4 \theta + \cos^4 \theta)x^2 + (\sin 2\theta)x + (\sin^6 \theta + \cos^6 \theta) = 0 \text{ के वास्तविक मूल हैं} \}$। यदि $\alpha$ और $\beta$ समुच्चय $S$ के क्रमशः सबसे छोटे और सबसे बड़े अवयव हैं,तो $3((\alpha - 2)^2 + (\beta - 1)^2)$ का मान ज्ञात कीजिए।