ધારો કે એક વર્તુળ $S = 0$ એ બંને વર્તુળો $x^2 + y^2 = 400$ અને $x^2 + y^2 - 10x - 24y + 120 = 0$ ને બહારથી સ્પર્શે છે અને $x$-અક્ષને પણ સ્પર્શે છે. વર્તુળ $S = 0$ ની ત્રિજ્યા કેટલી છે?

જો બિંદુ $(h, k)$ માંથી વર્તુળ $x^2+y^2=16$ પર દોરેલા સ્પર્શકની લંબાઈ,તે જ બિંદુમાંથી વર્તુળ $x^2+y^2+2x+2y=0$ પર દોરેલા સ્પર્શકની લંબાઈ કરતાં બમણી હોય,તો:

ધારો કે રેખા $2x - y = 10$ ને લંબ રેખા પરવલય $y^2 = 4(x - 9)$ ને બિંદુ $P$ પર સ્પર્શે છે. વર્તુળ $x^2 + y^2 - 14x - 8y + 56 = 0$ ના કેન્દ્રથી બિંદુ $P$ નું અંતર ........... છે.

જો વક્રો $ax^2+by^2=1$ અને $cx^2+dy^2=1$ લંબરૂપે છેદતા હોય, તો $\frac{b-a}{d-c}=$

ધારો કે $M = \{(x, y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} : x^2 + y^2 \leq r^2\}$,જ્યાં $r > 0$. ભૌમિતિક શ્રેણી $a_n = \frac{1}{2^{n-1}}$,$n = 1, 2, 3, \ldots$ ધ્યાનમાં લો. ધારો કે $S_0 = 0$ અને,$n \geq 1$ માટે,$S_n$ એ આ શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો દર્શાવે છે. $n \geq 1$ માટે,$C_n$ એ $(S_{n-1}, 0)$ કેન્દ્ર અને $a_n$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે,અને $D_n$ એ $(S_{n-1}, S_{n-1})$ કેન્દ્ર અને $a_n$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે.
$(1)$ $r = \frac{1025}{513}$ સાથે $M$ ધ્યાનમાં લો. ધારો કે $k$ એ $M$ ની અંદર આવેલા તમામ વર્તુળો $C_n$ ની સંખ્યા છે. ધારો કે $l$ એ આ $k$ વર્તુળોમાં એવા વર્તુળોની મહત્તમ શક્ય સંખ્યા છે કે જેથી કોઈ પણ બે વર્તુળો એકબીજાને છેદે નહીં. તો
$(A)$ $k + 2l = 22$ $(B)$ $2k + l = 26$ $(C)$ $2k + 3l = 34$ $(D)$ $3k + 2l = 40$
$(2)$ $r = \frac{(2^{199}-1)\sqrt{2}}{2^{198}}$ સાથે $M$ ધ્યાનમાં લો. $M$ ની અંદર આવેલા તમામ વર્તુળો $D_n$ ની સંખ્યા છે
$(A)$ $198$ $(B)$ $199$ $(C)$ $200$ $(D)$ $201$

ત્રણ વર્તુળો એક સમતલ પર એવી રીતે આવેલા છે કે તેમાંથી દરેક અન્ય બેને બહારથી સ્પર્શે છે. તેમાંથી બેની ત્રિજ્યા $3$ છે અને ત્રીજાની ત્રિજ્યા $1$ છે. જો $A, B$ અને $C$ એ વર્તુળોના સ્પર્શબિંદુઓ હોય,તો ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ શોધો.