माना $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ a & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix}$ और $|A| = 2$ है। यदि $|2 \operatorname{adj}(2 \operatorname{adj}(2 A))| = 32^n$ है,तो $3n + \alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $z = \begin{bmatrix} 1 & 1+2i & -5i \\ 1-2i & -3 & 5+3i \\ 5i & 5-3i & 7 \end{bmatrix}$ है, तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है? (जहाँ $i = \sqrt{-1}$)

किसी भी $3 \times 3$ आव्यूह $M$ के लिए,$| M |$,$M$ का सारणिक दर्शाता है। मान लीजिए $E=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 8 & 13 & 18 \end{bmatrix}$,$P=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$ और $F=\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 8 & 18 & 13 \\ 2 & 4 & 3 \end{bmatrix}$ है। यदि $Q$ कोटि $3 \times 3$ का एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह है,तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन $TRUE$ है?
$(A)$ $F = PEP$ और $P^2 = I$
$(B)$ $| EQ + PFQ^{-1} | = | EQ | + | PFQ^{-1} |$
$(C)$ $|(EF)^3| > |EF|^2$
$(D)$ $P^{-1}EP + F$ के विकर्ण अवयवों का योग $E + P^{-1}FP$ के विकर्ण अवयवों के योग के बराबर है।

माना $A = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ \alpha & \beta \end{bmatrix}$ है। यदि $A^2 + \gamma A + 18I = O$ है,तो $\operatorname{det}(A)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix}$ और $B = A - I$ है। यदि $\omega = \frac{\sqrt{3}i - 1}{2}$ है, तो समुच्चय $\{n \in \{1, 2, \ldots, 100\} : A^n + (\omega B)^n = A + B\}$ में अवयवों की संख्या $..........$ है।

यदि $A$ और $B$ दो आव्यूह इस प्रकार हैं कि $AB = B$ और $BA = A,$ तो ${A^2} + {B^2} = $