ધારો કે વિધેય $f(x) = x^2 + x + \sin x - \cos x + \log(1 + |x|)$ એ અંતરાલ $[0, 1]$ પર વ્યાખ્યાયિત છે. અંતરાલ $[-1, 1]$ પર $f(x)$ નું અયુગ્મ વિસ્તરણ (odd extension) શું છે?

વિધેયો $f$ અને $g$ ની સમાનતા માટે,નીચેનામાંથી કઈ શરતો સંતોષાવી જોઈએ?
$(i)$ $f$ નો પ્રદેશ = $g$ નો પ્રદેશ
(ii) $f(x) = g(x)$,જ્યાં $x$ એ પ્રદેશમાં છે
(iii) $x \in f$ નો પ્રદેશ

ત્રણ પ્રકારના પ્રવાહી $X, Y, Z$ છે. ત્રણ પાત્રો $J_1, J_2, J_3$ માં અનુક્રમે $100 \, ml$ પ્રવાહી $X, Y, Z$ છે. એક પ્રક્રિયામાં નીચેના ક્રમમાં ત્રણ પગલાંનો સમાવેશ થાય છે:
- $J_1$ માં પ્રવાહીને હલાવો અને $J_1$ માંથી $10 \, ml$ પ્રવાહી $J_2$ માં સ્થાનાંતરિત કરો.
- $J_2$ માં પ્રવાહીને હલાવો અને $J_2$ માંથી $10 \, ml$ પ્રવાહી $J_3$ માં સ્થાનાંતરિત કરો.
- $J_3$ માં પ્રવાહીને હલાવો અને $J_3$ માંથી $10 \, ml$ પ્રવાહી $J_1$ માં સ્થાનાંતરિત કરો.
આ પ્રક્રિયા ચાર વખત કર્યા પછી,ધારો કે $J_1$ માં $X, Y, Z$ ના જથ્થા અનુક્રમે $x, y, z$ છે. તો,

સમીકરણ $2^x = x^2$ ના ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

કેટલાક $a, b, c \in N$ માટે,ધારો કે $f(x)=ax-3$ અને $g(x)=x^b+c$,$x \in R$. જો $(fog)^{-1}(x)=\left(\frac{x-7}{2}\right)^{1/3}$ હોય,તો $(fog)(ac) + (gof)(b)$ ની કિંમત $..........$ થાય.

જો $f(x) = \frac{2^x}{2^x + \sqrt{2}}$,$x \in R$ હોય,તો $\sum_{k=1}^{81} f\left(\frac{k}{82}\right)$ ની કિંમત શોધો: