मान लीजिए कि वक्रों |y|=1-x^2 और x^2+y^2=1 के | vedclass

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Question

(D) दिए गए वक्र $C_1: |y|=1-x^2$ और $C_2: x^2+y^2=1$ हैं।सममिति के कारण,क्षेत्रफल $\alpha$ प्रथम चतुर्थांश में वृत्त $y=\sqrt{1-x^2}$ और परवलय $y=1-x^

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$33$

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(D) दिए गए वक्र $C_1: |y|=1-x^2$ और $C_2: x^2+y^2=1$ हैं।सममिति के कारण,क्षेत्रफल $\alpha$ प्रथम चतुर्थांश में वृत्त $y=\sqrt{1-x^2}$ और परवलय $y=1-x^2$ के बीच के क्षेत्रफल का चार गुना है।$\alpha = 4 \int_0^1 (\sqrt{1-x^2} - (1-x^2)) dx$$\alpha = 4 \left[ \int_0^1 \sqrt{1-x^2} dx - \int_0^1 (1-x^2) dx \right]$मानक समाकलन $\int \sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{a})$ का उपयोग करने पर:$\alpha = 4 \left[ \left( \frac{x}{2}\sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(x) \right)_0^1 - \left( x - \frac{x^3}{3} \right)_0^1 \right]$$\alpha = 4 \left[ (0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}) - (1 - \frac{1}{3}) \right]$$\alpha = 4 \left[ \frac{\pi}{4} - \frac{2}{3} \right] = \pi - \frac{8}{3}$दिया है $9\alpha = \beta\pi + \gamma$,इसलिए $9(\pi - \frac{8}{3}) = 9\pi - 24$ है।तुलना करने पर,$\beta = 9$ और $\gamma = -24$ प्राप्त होता है।अतः,$|\beta - \gamma| = |9 - (-24)| = |9 + 24| = 33$.

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