वक्रों y = x^2,y = x^3,x = 0 और x = p द्वारा | vedclass

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Question

(D) दिए गए वक्र $y = x^2$ और $y = x^3$ हैं।$y = x^2$ और $y = x^3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए $x^2 = x^3$ रखते हैं,जिससे $x^2(x - 1) = 0$ प

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$4/3$

Vedclass · Answer

(D) दिए गए वक्र $y = x^2$ और $y = x^3$ हैं।$y = x^2$ और $y = x^3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए $x^2 = x^3$ रखते हैं,जिससे $x^2(x - 1) = 0$ प्राप्त होता है,अतः $x = 0$ या $x = 1$ है।$0  x^3$ है,और $x > 1$ के लिए,$x^3 > x^2$ है।चूँकि $p > 1$ दिया गया है,क्षेत्रफल $[0, 1]$ और $[1, p]$ अंतरालों में क्षेत्रफलों का योग है:क्षेत्रफल $= \int_{0}^{1} (x^2 - x^3) \, dx + \int_{1}^{p} (x^3 - x^2) \, dx = \frac{1}{6}$.प्रथम समाकलन की गणना:$\int_{0}^{1} (x^2 - x^3) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$.द्वितीय समाकलन की गणना:$\int_{1}^{p} (x^3 - x^2) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{p} = \left( \frac{p^4}{4} - \frac{p^3}{3} \right) - \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{3} \right) = \frac{p^4}{4} - \frac{p^3}{3} + \frac{1}{12}$.क्षेत्रफलों का योग करने पर:$\frac{1}{12} + \frac{p^4}{4} - \frac{p^3}{3} + \frac{1}{12} = \frac{1}{6}$.$\frac{p^4}{4} - \frac{p^3}{3} + \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.$\frac{p^4}{4} - \frac{p^3}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{6}$.$\frac{p^4}{4} - \frac{p^3}{3} = 0$.$12$ से गुणा करने पर:$3p^4 - 4p^3 = 0$.$p^3(3p - 4) = 0$.चूँकि $p > 1$ है,इसलिए $p = 4/3$ प्राप्त होता है।

वक्रों $y = x^2$,$y = x^3$,$x = 0$ और $x = p$ द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल,जहाँ $p > 1$ है,$1/6$ है। $p$ का मान ज्ञात कीजिए।

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