मान लीजिए कि $\triangle ABC$ के एक शीर्ष के निर्देशांक $A(0, 2, \alpha)$ हैं और अन्य दो शीर्ष रेखा $\frac{x+\alpha}{5} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+4}{3}$ पर स्थित हैं। $\alpha \in \mathbb{Z}$ के लिए,यदि $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $21$ वर्ग इकाई है और रेखाखंड $BC$ की लंबाई $2\sqrt{21}$ इकाई है,तो $\alpha^2$ का मान $...........$ है।

धनात्मक दिक्-कोसाइन वाली एक रेखा बिंदु $P(2, -1, 2)$ से होकर गुजरती है और निर्देशांक अक्षों के साथ समान कोण बनाती है। यदि यह रेखा समतल $2x + y + z = 9$ को बिंदु $Q$ पर मिलती है,तो लंबाई $PQ$ ज्ञात कीजिए।

रेखा $\vec{r} = (2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) + \lambda(-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ और समतल $\vec{r} \cdot (3\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) = 4$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

$(1, 1, -1)$ से गुजरने वाली और $\hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}$ सदिश के समानांतर रेखा,रेखा $\frac{x - 3}{-1} = \frac{y + 2}{5} = \frac{z - 2}{-4}$ को $A$ पर और समतल $2 x - y + 2 z + 7 = 0$ को $B$ पर मिलती है। तो $AB = $

मान लीजिए $P$ एक समतल है जो रेखा $\frac{x-1}{3}=\frac{y+6}{4}=\frac{z+5}{2}$ को समाहित करता है और रेखा $\frac{x-3}{4}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z+5}{7}$ के समानांतर है। यदि बिंदु $(1, -1, \alpha)$ समतल $P$ पर स्थित है,तो $|5\alpha|$ का मान ....... है।

मान लीजिए $P_1: 2x + y - z = 3$ और $P_2: x + 2y + z = 2$ दो समतल हैं। तो,निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन $TRUE$ है/हैं?
$(A)$ $P_1$ और $P_2$ की प्रतिच्छेदन रेखा के दिक अनुपात $1, -1, 1$ हैं।
$(B)$ रेखा $\frac{3x - 4}{9} = \frac{1 - 3y}{9} = \frac{z}{3}$,$P_1$ और $P_2$ की प्रतिच्छेदन रेखा के लंबवत है।
$(C)$ $P_1$ और $P_2$ के बीच का न्यून कोण $60^{\circ}$ है।
$(D)$ यदि $P_3$ बिंदु $(4, 2, -2)$ से गुजरने वाला और $P_1$ और $P_2$ की प्रतिच्छेदन रेखा के लंबवत समतल है,तो बिंदु $(2, 1, 1)$ की समतल $P_3$ से दूरी $\frac{2}{\sqrt{3}}$ है।