माना दीर्घवृत्त E_1: frac{x^2}{a^2} + frac{y^ | vedclass

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Question

(D) $E_1$ के लिए,$2ae = 4 \implies a(\frac{1}{\sqrt{3}}) = 2 \implies a = 2\sqrt{3}$।चूंकि $e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$,हमारे पास $\frac{1}{3} = 1 - \f

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$\frac{24 \sqrt{6}}{5}$

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(D) $E_1$ के लिए,$2ae = 4 \implies a(\frac{1}{\sqrt{3}}) = 2 \implies a = 2\sqrt{3}$।चूंकि $e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$,हमारे पास $\frac{1}{3} = 1 - \frac{b^2}{12} \implies \frac{b^2}{12} = \frac{2}{3} \implies b^2 = 8$ है।$E_1$ के नाभिलंब की लंबाई $L_1 = \frac{2b^2}{a} = \frac{2(8)}{2\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}}$ है।$E_2$ के लिए,$e^2 = 1 - \frac{A^2}{B^2} = \frac{1}{3} \implies \frac{A^2}{B^2} = \frac{2}{3} \implies A^2 = \frac{2}{3}B^2$ है। नाभिलंब की लंबाई $L_2 = \frac{2A^2}{B} = \frac{2(\frac{2}{3}B^2)}{B} = \frac{4B}{3}$ है।दिया है $L_1 \cdot L_2 = \frac{32}{\sqrt{3}} \implies \frac{8}{\sqrt{3}} \cdot \frac{4B}{3} = \frac{32}{\sqrt{3}} \implies B = 3$। अतः $A^2 = \frac{2}{3}(3^2) = 6$ है।समीकरण $E_1: \frac{x^2}{12} + \frac{y^2}{8} = 1$ और $E_2: \frac{x^2}{6} + \frac{y^2}{9} = 1$ हैं।समीकरणों को घटाने पर: $(\frac{1}{12} - \frac{1}{6})x^2 + (\frac{1}{8} - \frac{1}{9})y^2 = 0 \implies -\frac{1}{12}x^2 + \frac{1}{72}y^2 = 0 \implies y^2 = 6x^2$।$y^2 = 6x^2$ को $E_1$ में रखने पर: $\frac{x^2}{12} + \frac{6x^2}{8} = 1 \implies \frac{x^2}{12} + \frac{3x^2}{4} = 1 \implies \frac{x^2 + 9x^2}{12} = 1 \implies 10x^2 = 12 \implies x^2 = \frac{6}{5} \implies x = \pm \sqrt{\frac{6}{5}}$।तब $y^2 = 6(\frac{6}{5}) = \frac{36}{5} \implies y = \pm \frac{6}{\sqrt{5}}$।शीर्ष $(\pm \sqrt{\frac{6}{5}}, \pm \frac{6}{\sqrt{5}})$ हैं।आयत का क्षेत्रफल $= 2|x| \cdot 2|y| = 4 \cdot \sqrt{\frac{6}{5}} \cdot \frac{6}{\sqrt{5}} = \frac{24\sqrt{6}}{5}$।

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