ધારો કે અતિવલય $H : \frac{x^2}{a^2} - y^2 = 1$ અને ઉપવલય $E : 3x^2 + 4y^2 = 12$ એવા છે કે જેથી $H$ ના નાભિલંબની લંબાઈ એ $E$ ના નાભિલંબની લંબાઈ જેટલી છે. જો $e_H$ અને $e_E$ એ અનુક્રમે $H$ અને $E$ ની ઉત્કેન્દ્રતા હોય,તો $12(e_H^2 + e_E^2)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે અતિવલય $H : \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ એ બિંદુ $(2\sqrt{2}, -2\sqrt{2})$ માંથી પસાર થાય છે. એક પરવલય દોરવામાં આવે છે જેનું નાભિ $H$ ના ધન અભિસિસાવાળા નાભિ જેવું જ છે અને પરવલયની નિયામિકા $H$ ના બીજા નાભિમાંથી પસાર થાય છે. જો પરવલયના નાભિલંબની લંબાઈ એ $H$ ના નાભિલંબની લંબાઈના $e$ ગણી હોય,જ્યાં $e$ એ $H$ ની ઉત્કેન્દ્રતા છે,તો નીચેનામાંથી કયું બિંદુ પરવલય પર આવેલું છે?

વક્ર $y^{2}=4x$ અને $x^{2}+y^{2}=12$ વચ્ચે તેમના છેદબિંદુ આગળનો ખૂણો શોધો.

જો ઉપવલય $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ $(b^{2} < 16)$ અને અતિવલય $\frac{x^{2}}{144}-\frac{y^{2}}{81}=\frac{1}{25}$ ના નાભિઓ એક જ હોય,તો $b^{2}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $e_1$ અને $e_2$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{25} = 1$ અને અતિવલય $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ની ઉત્કેન્દ્રતા છે. જો $b < 5$ અને $e_1 e_2 = 1$ હોય,તો યામ અક્ષો પર અક્ષો ધરાવતા અને ચારેય નાભિઓ (બે ઉપવલયની અને બે અતિવલયની) માંથી પસાર થતા ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો:

દ્વિઘાત સમીકરણ જેના બીજ $l$ અને $m$ છે,જ્યાં $l = \lim_{\theta \rightarrow 0} \left( \frac{3 \sin \theta - 4 \sin^2 \theta}{\theta} \right)$ અને $m = \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{2 \tan \theta}{\theta(1 - \tan^2 \theta)}$ છે,તે: