मान लीजिए कि अतिपरवलय H : frac{x^2}{a^2} - y^ | vedclass

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Question

(A) अतिपरवलय $H : \frac{x^2}{a^2} - y^2 = 1$ के लिए,नाभिलंब की लंबाई $LR_H = \frac{2b^2}{a} = \frac{2(1)^2}{a} = \frac{2}{a}$ है।दीर्घवृत्त $E : 3x^2

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$42$

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(A) अतिपरवलय $H : \frac{x^2}{a^2} - y^2 = 1$ के लिए,नाभिलंब की लंबाई $LR_H = \frac{2b^2}{a} = \frac{2(1)^2}{a} = \frac{2}{a}$ है।दीर्घवृत्त $E : 3x^2 + 4y^2 = 12$ के लिए,इसे $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ $a^2 = 4$ और $b^2 = 3$ है। नाभिलंब की लंबाई $LR_E = \frac{2b^2}{a} = \frac{2(3)}{2} = 3$ है।दिया गया है कि $LR_H = LR_E$,इसलिए $\frac{2}{a} = 3$,जिसका अर्थ है $a = \frac{2}{3}$।अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e_H = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{1}{(2/3)^2}} = \sqrt{1 + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{13}{4}} = \frac{\sqrt{13}}{2}$ है। अतः,$e_H^2 = \frac{13}{4}$।दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता $e_E = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ है। अतः,$e_E^2 = \frac{1}{4}$।अंत में,$12(e_H^2 + e_E^2) = 12(\frac{13}{4} + \frac{1}{4}) = 12(\frac{14}{4}) = 3 	imes 14 = 42$।

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