मान लीजिए कि रेखा frac{x-3}{7}=frac{y-2}{-1}= | vedclass

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Question

(C) समतल रेखा $\frac{x-4}{1}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z}{1}$ को समाहित करता है,जो $(4, -1, 0)$ से गुजरती है और जिसका दिशा सदिश $\vec{v_1} = \langle 1, -2,

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$12$

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(C) समतल रेखा $\frac{x-4}{1}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z}{1}$ को समाहित करता है,जो $(4, -1, 0)$ से गुजरती है और जिसका दिशा सदिश $\vec{v_1} = \langle 1, -2, 1 \rangle$ है। समतल $4ax-y+5z-7a=0$ और $2x-5y-z-3=0$ द्वारा परिभाषित रेखा को भी समाहित करता है। इन दो समतलों के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतलों का परिवार $(4ax-y+5z-7a) + \lambda(2x-5y-z-3) = 0$ है। चूंकि बिंदु $(4, -1, 0)$ समतल पर स्थित है,इसलिए $(16a+1-7a) + \lambda(8+5-3) = 0$,जो $9a + 10\lambda + 1 = 0$ (समीकरण $1$) में सरल होता है। समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \langle 4a+2\lambda, -1-5\lambda, 5-\lambda \rangle$ है। चूंकि रेखा $\vec{v_1}$ समतल में स्थित है,$\vec{n} \cdot \vec{v_1} = 0$,इसलिए $(4a+2\lambda) - 2(-1-5\lambda) + (5-\lambda) = 0$,जो $4a + 11\lambda + 7 = 0$ (समीकरण $2$) में सरल होता है। समीकरण $1$ और $2$ को हल करने पर $a=1$ और $\lambda=-1$ प्राप्त होता है। समतल का समीकरण: $(4x-y+5z-7) - (2x-5y-z-3) = 0$,अर्थात $2x+4y+6z-4=0$ या $x+2y+3z-2=0$ है। रेखा $\frac{x-3}{7}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-3}{-4}=t$ पर कोई भी बिंदु $(7t+3, -t+2, -4t+3)$ है। समतल के समीकरण में मान रखने पर: $(7t+3) + 2(-t+2) + 3(-4t+3) - 2 = 0$,जो $7t+3-2t+4-12t+9-2=0$ देता है,इसलिए $-7t+14=0$,जिसका अर्थ है $t=2$। बिंदु $P$ $(17, 0, -5)$ है। अतः,$\alpha+\beta+\gamma = 17+0-5 = 12$।

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