मान लीजिए कि बिंदु (-1, 0, -2) से गुजरने वाला | vedclass

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Question

(B) दिए गए समतलों के अभिलंब सदिश $\vec{n}_1 = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{n}_2 = \hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$ हैं।अतः,अभीष्ट समतल का अभिलंब

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$4$

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(B) दिए गए समतलों के अभिलंब सदिश $\vec{n}_1 = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{n}_2 = \hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$ हैं।अतः,अभीष्ट समतल का अभिलंब $\vec{n} = \vec{n}_1 	imes \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 2 & 1 & -1 \ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1 - 1) - \hat{j}(-2 + 1) + \hat{k}(-2 - 1) = -2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$ है।बिंदु $(-1, 0, -2)$ से गुजरने वाले और अभिलंब $\vec{n} = -2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$ वाले समतल का समीकरण:$-2(x + 1) + 1(y - 0) - 3(z + 2) = 0$$-2x - 2 + y - 3z - 6 = 0$$-2x + y - 3z - 8 = 0$$-1$ से गुणा करने पर,$2x - y + 3z + 8 = 0$ प्राप्त होता है।$ax + by + cz + 8 = 0$ से तुलना करने पर,$a = 2, b = -1, c = 3$ है।अतः,$a + b + c = 2 - 1 + 3 = 4$।

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निम्नलिखित समतलों पर विचार करें: $P: x + y - 2z + 7 = 0$; $Q: x + y + 2z + 2 = 0$; $R: 3x + 3y - 6z - 11 = 0$.

समतल $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4} = 1$, अक्षों को बिंदुओं $A, B, C$ पर काटता है। त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

बिंदु $(1, 2, 1)$ से गुजरने वाले और समतलों $x + 2y + 2z - 7 = 0$ तथा $3x + 3y + 2z - 5 = 0$ के लंबवत समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

यदि समतल $\vec{r} \cdot (p \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}) + 3 = 0$ और $\vec{r} \cdot (2 \hat{i} - p \hat{j} - \hat{k}) - 5 = 0$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{3}$ है,तो $p$ का मान ज्ञात कीजिए।

बिंदु $(2, 3, -1)$ से गुजरने वाले और सदिश $3\hat{i} - 4\hat{j} + 7\hat{k}$ के लंबवत समतल की मूल बिंदु से दूरी ज्ञात कीजिए।

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