मान लीजिए कि अवकल समीकरण frac{dy}{dx}-y=1+4 s | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -1$ और $Q(x) = 1 + 4 \sin x$ है।समाकलन गुणक $(I

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$7$

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(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -1$ और $Q(x) = 1 + 4 \sin x$ है।समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(x) dx} = e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ है।दोनों पक्षों को $IF$ से गुणा करने पर: $e^{-x} \frac{dy}{dx} - e^{-x} y = e^{-x}(1 + 4 \sin x)$,जो $\frac{d}{dx}(y e^{-x}) = e^{-x} + 4 e^{-x} \sin x$ में सरल हो जाता है।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $y e^{-x} = \int e^{-x} dx + 4 \int e^{-x} \sin x dx$.सूत्र $\int e^{ax} \sin(bx) dx = \frac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a \sin(bx) - b \cos(bx))$ का उपयोग करने पर,$\int e^{-x} \sin x dx = -\frac{e^{-x}}{2}(\sin x + \cos x)$ प्राप्त होता है।अतः,$y e^{-x} = -e^{-x} - 2e^{-x}(\sin x + \cos x) + C$.$e^{-x}$ से भाग देने पर,$y = -1 - 2(\sin x + \cos x) + C e^x$ प्राप्त होता है।$y(\pi) = 1$ दिया गया है: $1 = -1 - 2(\sin \pi + \cos \pi) + C e^{\pi} \Rightarrow 1 = -1 - 2(0 - 1) + C e^{\pi} \Rightarrow 1 = 1 + C e^{\pi} \Rightarrow C = 0$.अतः,$y(x) = -1 - 2(\sin x + \cos x)$.अब $y\left(\frac{\pi}{2}\right) = -1 - 2(\sin \frac{\pi}{2} + \cos \frac{\pi}{2}) = -1 - 2(1 + 0) = -3$.अंत में,$y\left(\frac{\pi}{2}\right) + 10 = -3 + 10 = 7$.

मान लीजिए कि अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}-y=1+4 \sin x$ का हल $y=y(x)$,$y(\pi)=1$ को संतुष्ट करता है। तो $y\left(\frac{\pi}{2}\right)+10$ का मान ज्ञात कीजिए।

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