अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}-y=\cos x$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

अवकल समीकरण $(1-x^2) \frac{dy}{dx} + xy = kx$ के लिए $(-1 < x < 1)$ समाकलन गुणक (Integrating Factor) . . . . . . है।

मान लीजिए $y=y(x)$ अवकल समीकरण $\cos x(\ln(\cos x))^2 dy + (\sin x - 3y \sin x \ln(\cos x)) dx = 0$ का हल है,जहाँ $x \in (0, \frac{\pi}{2})$ है। यदि $y(\frac{\pi}{4}) = \frac{-1}{\ln 2}$ है,तो $y(\frac{\pi}{6})$ क्या है?

माना $F:[3,5] \rightarrow R$ अंतराल $(3,5)$ पर एक दो बार अवकलनीय फलन है,इस प्रकार कि $F(x)=e^{-x} \int_{3}^{x} (3t^{2}+2t+4F^{\prime}(t)) \,dt$. यदि $F^{\prime}(4)=\frac{\alpha e^{\beta}-224}{(e^{\beta}-4)^{2}}$ है,तो $\alpha+\beta$ का मान $....$ है।

मान लीजिए कि अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}-y=1+4 \sin x$ का हल $y=y(x)$,$y(\pi)=1$ को संतुष्ट करता है। तो $y\left(\frac{\pi}{2}\right)+10$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $y=y(x)$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + 2y \tan x = \sin x$ का हल है और $y(\frac{\pi}{3}) = 0$ है,तो $\mathbb{R}$ पर फलन $y(x)$ का अधिकतम मान क्या होगा?