अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + (3x^2 \tan^{-1} y - x^3)(1 + y^2) = 0$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) है

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + (\sec x)y = \tan x$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए,जहाँ $0 \le x \le \frac{\pi}{2}$.

मान लीजिए कि $y=y(x)$ अवकल समीकरण $(1-x^2) dy = [xy + (x^3+2) \sqrt{3(1-x^2)}] dx$ का हल है,जहाँ $-1 < x < 1$ और $y(0)=0$ है। यदि $y(1/2) = m/n$ है,जहाँ $m$ और $n$ सह-अभाज्य संख्याएँ हैं,तो $m+n$ का मान ज्ञात कीजिए।

माना $g$ एक अवकलनीय फलन है ताकि $\int_0^x g(t) dt = x - \int_0^x tg(t) dt, x \geq 0$ के लिए। माना $y = y(x)$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} - y \tan x = 2(x+1) \sec x g(x), x \in [0, \frac{\pi}{2})$ को संतुष्ट करता है। यदि $y(0) = 0$ है,तो $y(\frac{\pi}{3})$ का मान ज्ञात कीजिए।

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y \cot x = 2x + x^2 \cot x$ $(x \neq 0)$ का विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए,दिया गया है कि $x = \frac{\pi}{2}$ पर $y = 0$ है।

अवकल समीकरण $x^2 \frac{dy}{dx} \cos \frac{1}{x} - y \sin \frac{1}{x} = -1$ का हल ज्ञात कीजिए,जहाँ $x \rightarrow \infty$ होने पर $y \rightarrow -1$ है।