मान लीजिए कि अवकल समीकरण (1+e^{2x})(frac{dy}{ | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण $(1+e^{2x})(\frac{dy}{dx}+y)=1$ है,जिसे $\frac{dy}{dx}+y=\frac{1}{1+e^{2x}}$ के रूप में लिखा जा सकता है।यह $\frac{dy}{dx}+Py=

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$\frac{3\pi}{4}$

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(B) दिया गया अवकल समीकरण $(1+e^{2x})(\frac{dy}{dx}+y)=1$ है,जिसे $\frac{dy}{dx}+y=\frac{1}{1+e^{2x}}$ के रूप में लिखा जा सकता है।यह $\frac{dy}{dx}+Py=Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P=1$ और $Q=\frac{1}{1+e^{2x}}$ है।समाकलन गुणक (Integrating Factor) $I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int 1 dx} = e^x$ है।सामान्य हल $y \cdot e^x = \int Q \cdot I.F. dx + c = \int \frac{e^x}{1+e^{2x}} dx + c$ है।मान लीजिए $u=e^x$,तो $du=e^x dx$। समाकलन $\int \frac{1}{1+u^2} du = 	an^{-1}(u) = 	an^{-1}(e^x)$ हो जाता है।अतः,$y \cdot e^x = 	an^{-1}(e^x) + c$ है।चूँकि वक्र बिंदु $(0, \frac{\pi}{2})$ से गुजरता है,हमारे पास $\frac{\pi}{2} \cdot e^0 = 	an^{-1}(e^0) + c$ है,जो $\frac{\pi}{2} = 	an^{-1}(1) + c = \frac{\pi}{4} + c$ देता है।इस प्रकार,$c = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$ है।हल $y \cdot e^x = 	an^{-1}(e^x) + \frac{\pi}{4}$ है।जब $x ightarrow \infty$ हो,तो सीमा लेने पर,$\lim_{x ightarrow \infty} (y \cdot e^x) = \lim_{x ightarrow \infty} (	an^{-1}(e^x) + \frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$।

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