मान लीजिए Y=Y(X) प्रथम चतुर्थांश में स्थित एक | vedclass

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Question

(A) $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $Y-y=Y^{\prime}(x)(X-x)$ है।$X=0$ के लिए,$Y=y-x Y^{\prime}(x)$.$Y=0$ के लिए,$X=x-\frac{y}{Y^{\prime}(x)}$.स्पर्श

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$20$

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(A) $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $Y-y=Y^{\prime}(x)(X-x)$ है।$X=0$ के लिए,$Y=y-x Y^{\prime}(x)$.$Y=0$ के लिए,$X=x-\frac{y}{Y^{\prime}(x)}$.स्पर्श रेखा और निर्देशांक अक्षों द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} \left| x - \frac{y}{Y^{\prime}(x)} ight| \left| y - x Y^{\prime}(x) ight|$ है।चूंकि वक्र प्रथम चतुर्थांश में है और क्षेत्रफल $\frac{-y^2}{2 Y^{\prime}(x)}+1$ दिया गया है:$A = \frac{1}{2} \left( \frac{x Y^{\prime}(x) - y}{Y^{\prime}(x)} ight) (y - x Y^{\prime}(x)) = \frac{-y^2}{2 Y^{\prime}(x)} + 1$.$2 Y^{\prime}(x)$ से गुणा करने पर:$-(y - x Y^{\prime}(x))^2 = -y^2 + 2 Y^{\prime}(x)$.$-y^2 + 2xy Y^{\prime}(x) - x^2 (Y^{\prime}(x))^2 = -y^2 + 2 Y^{\prime}(x)$.$2xy Y^{\prime}(x) - x^2 (Y^{\prime}(x))^2 = 2 Y^{\prime}(x)$.चूंकि $Y^{\prime}(x) 
eq 0$,$Y^{\prime}(x)$ से भाग देने पर:$2xy - x^2 Y^{\prime}(x) = 2$.$Y^{\prime}(x) = \frac{2xy - 2}{x^2} = \frac{2y}{x} - \frac{2}{x^2}$.यह एक रैखिक अवकल समीकरण है: $\frac{dy}{dx} - \frac{2}{x} y = -\frac{2}{x^2}$.समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int -\frac{2}{x} dx} = e^{-2 \ln x} = \frac{1}{x^2}$.हल $y \cdot \frac{1}{x^2} = \int \left( -\frac{2}{x^2} \cdot \frac{1}{x^2} ight) dx = \int -2 x^{-4} dx = \frac{2}{3} x^{-3} + C$.$y = \frac{2}{3x} + C x^2$.$Y(1)=1$ दिया गया है,इसलिए $1 = \frac{2}{3} + C \Rightarrow C = \frac{1}{3}$.अतः,$Y(x) = \frac{2}{3x} + \frac{x^2}{3}$.$Y(2) = \frac{2}{3(2)} + \frac{4}{3} = \frac{1}{3} + \frac{4}{3} = \frac{5}{3}$.$12 Y(2) = 12 	imes \frac{5}{3} = 20$.

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