ધારો કે વિકલ સમીકરણ frac{dy}{dx} - frac{3x^5 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = -\frac{3x^5 	an^{-1}(x^3)}{(1+x^6)^{3/2}}$ અને $Q(x)

Vedclass · Accepted Answer

$\exp \left( \frac{4-\pi}{4 \sqrt{2}} \right)$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = -\frac{3x^5 	an^{-1}(x^3)}{(1+x^6)^{3/2}}$ અને $Q(x) = 2x \exp \left( \frac{x^3 - 	an^{-1}(x^3)}{\sqrt{1+x^6}} ight)$.સૌ પ્રથમ,આપણે સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ શોધીએ:$I.F. = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\frac{3x^5 	an^{-1}(x^3)}{(1+x^6)^{3/2}} dx}$.ધારો કે $t = x^3$,તો $dt = 3x^2 dx$. સંકલન $\int -\frac{t 	an^{-1}(t)}{(1+t^2)^{3/2}} dt$ બને છે. ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{	an^{-1}(t) - t}{\sqrt{1+t^2}} = \frac{	an^{-1}(x^3) - x^3}{\sqrt{1+x^6}}$ મળે છે.તેથી,$I.F. = \exp \left( \frac{	an^{-1}(x^3) - x^3}{\sqrt{1+x^6}} ight)$.સામાન્ય ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ છે.$y \cdot \exp \left( \frac{	an^{-1}(x^3) - x^3}{\sqrt{1+x^6}} ight) = \int 2x \exp \left( \frac{x^3 - 	an^{-1}(x^3)}{\sqrt{1+x^6}} ight) \cdot \exp \left( \frac{	an^{-1}(x^3) - x^3}{\sqrt{1+x^6}} ight) dx + C$.$y \cdot \exp \left( \frac{	an^{-1}(x^3) - x^3}{\sqrt{1+x^6}} ight) = \int 2x dx + C = x^2 + C$.વક્ર ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$0 \cdot e^0 = 0^2 + C$,તેથી $C = 0$.આમ,$y(x) = x^2 \exp \left( \frac{x^3 - 	an^{-1}(x^3)}{\sqrt{1+x^6}} ight)$.$x = 1$ માટે,$y(1) = 1^2 \exp \left( \frac{1 - 	an^{-1}(1)}{\sqrt{1+1}} ight) = \exp \left( \frac{1 - \pi/4}{\sqrt{2}} ight) = \exp \left( \frac{4-\pi}{4 \sqrt{2}} ight)$.

Similar Questions

સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + y f^{\prime}(x) - f(x) f^{\prime}(x) = 0$, જ્યાં $y \neq f(x)$, નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $100 \frac{d^2 y}{dx^2}-20 \frac{dy}{dx}+y=0$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $y^2 dx + (x - \frac{1}{y}) dy = 0$ ધ્યાનમાં લો. જો $x = 1$ હોય ત્યારે $y$ નું મૂલ્ય $1$ હોય,તો $y = 2$ હોય ત્યારે $x$ નું મૂલ્ય શોધો:

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = y \tan x - y^2 \sec x$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\left(1-x^2\right) \frac{d y}{d x}+x y=\frac{x^4}{\left(1+x^5\right)}\left(\sqrt{1-x^2}\right)^3$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module