मान लीजिए कि वृत्त x^{2}+y^{2}=25 के बिंदु R( | vedclass

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Question

(C) बिंदु $R(3,4)$ पर वृत्त $x^{2}+y^{2}=25$ की स्पर्शरेखा का समीकरण $3x+4y=25$ है।स्पर्शरेखा जहाँ अक्षों से मिलती है,उन बिंदुओं $P$ और $Q$ को ज्ञात क

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$\frac{625}{72}$

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(C) बिंदु $R(3,4)$ पर वृत्त $x^{2}+y^{2}=25$ की स्पर्शरेखा का समीकरण $3x+4y=25$ है।स्पर्शरेखा जहाँ अक्षों से मिलती है,उन बिंदुओं $P$ और $Q$ को ज्ञात करने के लिए:$P$ ($x$-अक्ष पर) के लिए,$y=0$ रखें: $3x=25 \implies x=\frac{25}{3}$. अतः,$P = (\frac{25}{3}, 0)$.$Q$ ($y$-अक्ष पर) के लिए,$x=0$ रखें: $4y=25 \implies y=\frac{25}{4}$. अतः,$Q = (0, \frac{25}{4})$.त्रिभुज $OPQ$ एक समकोण त्रिभुज है जिसके शीर्ष $O(0,0)$,$P(\frac{25}{3}, 0)$,और $Q(0, \frac{25}{4})$ हैं।भुजाओं की लंबाई $OP = \frac{25}{3}$,$OQ = \frac{25}{4}$,और $PQ = \sqrt{(\frac{25}{3})^{2} + (\frac{25}{4})^{2}} = \sqrt{\frac{625}{9} + \frac{625}{16}} = \frac{125}{12}$ है।एक समकोण त्रिभुज का अंतःकेंद्र $I(a, b)$ जिसके शीर्ष $(0,0)$,$(x_1, 0)$,और $(0, y_1)$ हैं,$I = (r_{in}, r_{in})$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r_{in} = \frac{x_1 + y_1 - \sqrt{x_1^2 + y_1^2}}{2}$ है।यहाँ,$r_{in} = \frac{\frac{25}{3} + \frac{25}{4} - \frac{125}{12}}{2} = \frac{25}{12}$.अतः,अंतःकेंद्र $I(\frac{25}{12}, \frac{25}{12})$ है।वृत्त मूल बिंदु $O(0,0)$ से गुजरता है और इसका केंद्र $I(\frac{25}{12}, \frac{25}{12})$ पर है।त्रिज्या $r$ दूरी $OI = \sqrt{(\frac{25}{12}-0)^{2} + (\frac{25}{12}-0)^{2}} = \sqrt{2(\frac{25}{12})^{2}}$ है।इसलिए,$r^{2} = 2 	imes (\frac{25}{12})^{2} = 2 	imes \frac{625}{144} = \frac{625}{72}$.

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