वृत्त x^2 + y^2 = a^2 की स्पर्श रेखा का समीकर | vedclass

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Question

(B) माना स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x}{x_1} + \frac{y}{y_1} = 1$ है। इस रेखा द्वारा निर्देशांक अक्षों के साथ बने त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |

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$x \pm y = \pm a\sqrt{2}$

Vedclass · Answer

(B) माना स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x}{x_1} + \frac{y}{y_1} = 1$ है। इस रेखा द्वारा निर्देशांक अक्षों के साथ बने त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1 y_1| = a^2$ है,इसलिए $|x_1 y_1| = 2a^2$। रेखा का समीकरण $y_1 x + x_1 y - x_1 y_1 = 0$ है। चूंकि यह रेखा वृत्त $x^2 + y^2 = a^2$ की स्पर्श रेखा है,इसलिए मूल बिंदु $(0, 0)$ से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $a$ के बराबर होनी चाहिए: $\frac{|-x_1 y_1|}{\sqrt{y_1^2 + x_1^2}} = a$ दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{x_1^2 y_1^2}{x_1^2 + y_1^2} = a^2$ $x_1^2 y_1^2 = (2a^2)^2 = 4a^4$ प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{4a^4}{x_1^2 + y_1^2} = a^2 \implies x_1^2 + y_1^2 = 4a^2$। हमें $|x_1 y_1| = 2a^2$ और $x_1^2 + y_1^2 = 4a^2$ प्राप्त होता है। $(|x_1| + |y_1|)^2 = x_1^2 + y_1^2 + 2|x_1 y_1| = 4a^2 + 4a^2 = 8a^2 \implies |x_1| + |y_1| = 2a\sqrt{2}$। $(|x_1| - |y_1|)^2 = x_1^2 + y_1^2 - 2|x_1 y_1| = 4a^2 - 4a^2 = 0 \implies |x_1| = |y_1|$। अतः,$|x_1| = |y_1| = a\sqrt{2}$। इन मानों को अंतःखंड रूप $\frac{x}{x_1} + \frac{y}{y_1} = 1$ में रखने पर,हमें $x \pm y = \pm a\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।

वृत्त $x^2 + y^2 = a^2$ की स्पर्श रेखा का समीकरण,जो निर्देशांक अक्षों के साथ $a^2$ क्षेत्रफल का त्रिभुज बनाती है,है:

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वृत्त $x^2 + y^2 = \frac{a^2b^2}{a^2 + b^2}$ के बिंदु $\left( \frac{ab^2}{a^2 + b^2}, \frac{a^2b}{a^2 + b^2} \right)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण क्या है?

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