मान लीजिए कि वृत्त C_{1}: x^{2}+y^{2}=2 के बि | vedclass

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Question

(C) वृत्त $C_{1}: x^{2}+y^{2}=2$ के बिंदु $M(-1, 1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $x(-1) + y(1) = 2$ है,जो $x - y + 2 = 0$ के रूप में सरल होता है।मान लीजि

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$\frac{1}{6}$

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(C) वृत्त $C_{1}: x^{2}+y^{2}=2$ के बिंदु $M(-1, 1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $x(-1) + y(1) = 2$ है,जो $x - y + 2 = 0$ के रूप में सरल होता है।मान लीजिए $O(3, 2)$ वृत्त $C_{2}$ का केंद्र है और $r = \sqrt{5}$ इसकी त्रिज्या है।केंद्र $O(3, 2)$ से रेखा $x - y + 2 = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|3 - 2 + 2|}{\sqrt{1^{2} + (-1)^{2}}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$ है।मान लीजिए $P$ जीवा $AB$ का मध्य बिंदु है। $\Delta OPA$ में,$OA = r = \sqrt{5}$ और $OP = d = \frac{3}{\sqrt{2}}$.अतः $AP = \sqrt{OA^{2} - OP^{2}} = \sqrt{5 - \frac{9}{2}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.$\Delta OAN$ में,$\angle OAN = 90^{\circ}$ है। मान लीजिए $\angle AON = 	heta$ है। तो $	an 	heta = \frac{AP}{OP} = \frac{1/\sqrt{2}}{3/\sqrt{2}} = \frac{1}{3}$.$\Delta OAN$ में,$AN = OA 	an 	heta = \sqrt{5} \cdot \frac{1}{3} = \frac{\sqrt{5}}{3}$.साथ ही,$ON = \sqrt{OA^{2} + AN^{2}} = \sqrt{5 + \frac{5}{9}} = \sqrt{\frac{50}{9}} = \frac{5\sqrt{2}}{3}$.$\Delta ANB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \cdot AB \cdot PN$. यहाँ $PN = \frac{AN^{2}}{ON} = \frac{5/9}{5\sqrt{2}/3} = \frac{1}{3\sqrt{2}}$.क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot AP) \cdot PN = AP \cdot PN = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{6}$.

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