परवलय y^2 = 4ax के शीर्ष से खींचे गए लंबों के | vedclass

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Question

(A) माना जीवा $y = mx + c$ है। रेखा और परवलय $y^2 = 4ax$ के प्रतिच्छेदन बिंदु $(mx + c)^2 = 4ax$ द्वारा प्राप्त होते हैं,जो $m^2x^2 + (2mc - 4a)x + c^

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$x^2 + y^2 - 4ax = 0$

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(A) माना जीवा $y = mx + c$ है। रेखा और परवलय $y^2 = 4ax$ के प्रतिच्छेदन बिंदु $(mx + c)^2 = 4ax$ द्वारा प्राप्त होते हैं,जो $m^2x^2 + (2mc - 4a)x + c^2 = 0$ में सरल हो जाते हैं।माना बिंदु $A(x_1, y_1)$ और $B(x_2, y_2)$ हैं। तब $x_1x_2 = \frac{c^2}{m^2}$ और $y_1y_2 = \frac{4ac}{m}$ है।चूंकि जीवा शीर्ष $(0,0)$ पर समकोण अंतरित करती है,$OA$ और $OB$ की प्रवणताओं का गुणनफल $-1$ है,इसलिए $\frac{y_1}{x_1} 	imes \frac{y_2}{x_2} = -1$,जिसका अर्थ है $y_1y_2 = -x_1x_2$ है।मान रखने पर,$\frac{4ac}{m} = -\frac{c^2}{m^2}$,जिससे $c = -4am$ प्राप्त होता है।जीवा का समीकरण $y = mx - 4am$ है।माना $(h, k)$ मूल बिंदु से इस रेखा पर लंब का पाद है। लंब रेखा की प्रवणता $-\frac{1}{m}$ है,इसलिए $\frac{k}{h} = -\frac{1}{m}$,जिससे $m = -\frac{h}{k}$ प्राप्त होता है।चूंकि $(h, k)$ रेखा $y = mx - 4am$ पर स्थित है,इसलिए $k = mh - 4am = m(h - 4a)$ है।$m = -\frac{h}{k}$ रखने पर,$k = -\frac{h}{k}(h - 4a)$,जो $k^2 = -h^2 + 4ah$ में सरल हो जाता है।अतः,$h^2 + k^2 - 4ah = 0$ है। $(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $x^2 + y^2 - 4ax = 0$ है।

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