स्तंभ I में दिए गए कथनों/व्यंजकों को स्तंभ II | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $2 \sin ^2 	heta + \sin ^2 2 	heta = 2$। $\sin 2 	heta = 2 \sin 	heta \cos 	heta$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $2 \sin ^

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$A-q, s; B-p, r, s, t; C-t; D-r$

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(A) दिया गया है $2 \sin ^2 	heta + \sin ^2 2 	heta = 2$। $\sin 2 	heta = 2 \sin 	heta \cos 	heta$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $2 \sin ^2 	heta + 4 \sin ^2 	heta \cos ^2 	heta = 2$। $2$ से विभाजित करने पर,$\sin ^2 	heta + 2 \sin ^2 	heta (1 - \sin ^2 	heta) = 1$। $3 \sin ^2 	heta - 2 \sin ^4 	heta - 1 = 0 \Rightarrow 2 \sin ^4 	heta - 3 \sin ^2 	heta + 1 = 0$। $(2 \sin ^2 	heta - 1)(\sin ^2 	heta - 1) = 0$। अतः $\sin ^2 	heta = \frac{1}{2}$ या $\sin ^2 	heta = 1$। इस प्रकार $	heta = \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}$। $(B)$ मान लीजिए $y = \frac{3x}{\pi}$। तो $f(x) = [2y] \cos [y]$। फलन $[2y]$ बिंदु $2y = k \in \mathbb{Z}$ पर असातत्य है,अर्थात $y = \frac{k}{2}$। फलन $\cos [y]$ बिंदु $y = k \in \mathbb{Z}$ पर असातत्य है। $x \in [0, \pi]$ के लिए,$y \in [0, 3]$। असातत्य बिंदु $y \in \{0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3\}$ पर प्राप्त होते हैं। $x = \frac{y\pi}{3}$ में बदलने पर,हमें $x \in \{\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{6}, \pi\}$ प्राप्त होता है। विकल्पों के साथ तुलना करने पर,बिंदुओं का समुच्चय $\{\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}, \pi\}$ है। $(C)$ आयतन = $|(\hat{i}+\hat{j}) \cdot ((\hat{i}+2\hat{j}) 	imes (\hat{i}+\hat{j}+\pi\hat{k}))| = |\det \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \ 1 & 2 & 0 \ 1 & 1 & \pi \end{bmatrix}| = |\pi(2-1)| = \pi$। $(D)$ $\vec{a} + \vec{b} = -\sqrt{3}\vec{c}$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} = 3|\vec{c}|^2$। $1 + 1 + 2 \cos \alpha = 3(1) \Rightarrow 2 \cos \alpha = 1 \Rightarrow \cos \alpha = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = \frac{\pi}{3}$।

स्तंभ $I$	स्तंभ $II$
$(A)$ समीकरण $2 \sin ^2 \theta + \sin ^2 2 \theta = 2$ के मूल	$(p)$ $\frac{\pi}{6}$
$(B)$ फलन $f(x) = [\frac{6x}{\pi}] \cos [\frac{3x}{\pi}]$ के असातत्य के बिंदु,जहाँ $[y]$ का अर्थ $y$ से छोटा या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक है	$(q)$ $\frac{\pi}{4}$
$(C)$ समांतर षट्फलक का आयतन जिसके किनारे सदिशों $\hat{i}+\hat{j}, \hat{i}+2\hat{j}$ और $\hat{i}+\hat{j}+\pi\hat{k}$ द्वारा निरूपित हैं	$(r)$ $\frac{\pi}{3}$
$(D)$ सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण,जहाँ $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ इकाई सदिश हैं जो $\vec{a}+\vec{b}+\sqrt{3}\vec{c}=\overrightarrow{0}$ को संतुष्ट करते हैं	$(s)$ $\frac{\pi}{2}$
	$(t)$ $\pi$

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