परवलय y^2 = 8x और रेखा x + y + 4 = 0 के सापेक | vedclass

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Question

(C) परवलय $y^2 = 8x$ है,इसलिए $4a = 8$,जिससे $a = 2$ प्राप्त होता है। परवलय पर सामान्य बिंदु $P(2t^2, 4t)$ है।$P$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx}

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$4\sqrt{2}$

Vedclass · Answer

(C) परवलय $y^2 = 8x$ है,इसलिए $4a = 8$,जिससे $a = 2$ प्राप्त होता है। परवलय पर सामान्य बिंदु $P(2t^2, 4t)$ है।$P$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{4}{2t} = \frac{2}{t}$ द्वारा दी जाती है।न्यूनतम दूरी के लिए,$P$ पर स्पर्शरेखा रेखा $x + y + 4 = 0$ के समानांतर होनी चाहिए,जिसकी ढाल $-1$ है।$\frac{2}{t} = -1$ रखने पर,हमें $t = -2$ प्राप्त होता है।बिंदु $P$ का मान $(2(-2)^2, 4(-2)) = (8, -8)$ है।बिंदु $P(8, -8)$ से रेखा $x + y + 4 = 0$ की दूरी $d = \frac{|8 - 8 + 4|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ है।परवलय और उसके प्रतिबिंब के बीच की न्यूनतम दूरी,बिंदु $P$ से परावर्तन की रेखा तक की दूरी की दोगुनी होती है,जो $2 	imes (2\sqrt{2}) = 4\sqrt{2}$ है।

परवलय $y^2 = 8x$ और रेखा $x + y + 4 = 0$ के सापेक्ष इसके प्रतिबिंब के बीच की न्यूनतम दूरी क्या है?

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