$(a, b, c)$ के उन त्रिकों (triplets) की संख्या क्या है जिनके लिए समीकरण निकाय $ax - by = 2a - b$ और $(c + 1)x + cy = 10 - a + 3b$ के अनंत हल हैं और $(x = 1, y = 3)$ एक हल है?

यदि ${x^a}{y^b} = {e^m}$,${x^c}{y^d} = {e^n}$,${\Delta _1} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} m & b \\ n & d \end{array}} \right|$,${\Delta _2} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a & m \\ c & n \end{array}} \right|$,और ${\Delta _3} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a & b \\ c & d \end{array}} \right|$ है,तो $x$ और $y$ के मान क्रमशः क्या होंगे?

यदि रैखिक समीकरण निकाय $x - 4y + 7z = g$,$3y - 5z = h$,और $-2x + 5y - 9z = k$ संगत है,तो:

$\lambda$ का वह मान जिसके लिए समीकरण निकाय $2x-y-2z=2$, $x-2y+z=-4$, और $x+y+\lambda z=4$ का कोई हल नहीं है, है:

यदि $A$ और $B$,$k$ के वे दो वास्तविक मान हैं जिनके लिए समीकरण निकाय $x+2y+z=1$,$x+3y+4z=k$ और $x+5y+10z=k^2$ संगत है,तो $A+B=$

मान लीजिए कि $M$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है, जहाँ $M \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$, $M \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ और $M \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ है। यदि $M \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ 11 \end{pmatrix}$ है, तो $x + y + z$ का मान ज्ञात कीजिए: