निम्नलिखित कथनों का अवलोकन करें:(I) triangle | vedclass

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Question

(B) कथन $(I)$ के लिए: $b \cos^2 \frac{C}{2} + c \cos^2 \frac{B}{2} = b \cdot \frac{s(s-c)}{ab} + c \cdot \frac{s(s-b)}{ac} = \frac{s(s-c) + s(s-b)}{a}

Vedclass · Accepted Answer

$I$ सही है,$II$ गलत है।

Vedclass · Answer

(B) कथन $(I)$ के लिए: $b \cos^2 \frac{C}{2} + c \cos^2 \frac{B}{2} = b \cdot \frac{s(s-c)}{ab} + c \cdot \frac{s(s-b)}{ac} = \frac{s(s-c) + s(s-b)}{a} = \frac{s(2s - b - c)}{a} = \frac{s(a)}{a} = s$. अतः,कथन $(I)$ सही है।कथन $(II)$ के लिए: दिया गया है $\cot \frac{A}{2} = \frac{b+c}{a}$. ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करने पर,$\frac{b+c}{a} = \frac{\sin B + \sin C}{\sin A} = \frac{2 \sin \frac{B+C}{2} \cos \frac{B-C}{2}}{2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}}$. चूंकि $\frac{B+C}{2} = 90^{\circ} - \frac{A}{2}$,इसलिए $\sin \frac{B+C}{2} = \cos \frac{A}{2}$. अतः,$\cot \frac{A}{2} = \frac{\cos \frac{A}{2} \cos \frac{B-C}{2}}{\sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}} = \frac{\cos \frac{B-C}{2}}{\sin \frac{A}{2}}$. यह दर्शाता है कि $\cos \frac{A}{2} = \cos \frac{B-C}{2}$,इसलिए $\frac{A}{2} = \frac{B-C}{2} \implies A = B - C \implies A+C = B$. चूंकि $A+B+C = 180^{\circ}$,इसलिए $2B = 180^{\circ} \implies B = 90^{\circ}$. प्रश्न में दिया गया कथन $\cot \frac{A}{2} = \frac{b+c}{2}$ है,जो विमीय रूप से गलत है क्योंकि हर (denominator) में $a$ होना चाहिए। इसलिए,कथन $(II)$ गलत है।

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