ઉપવલય $\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{4}=1$ પર,ધારો કે $P$ એ બીજા ચરણમાં આવેલું એક બિંદુ છે જેથી $P$ આગળનો સ્પર્શક રેખા $x+2y=0$ ને લંબ છે. ધારો કે $S$ અને $S'$ એ ઉપવલયના નાભિઓ છે અને $e$ તેની ઉત્કેન્દ્રતા છે. જો $A$ એ ત્રિકોણ $SPS'$ નું ક્ષેત્રફળ હોય,તો $(5-e^{2}) \cdot A$ નું મૂલ્ય શોધો.

બિંદુ $(h, 0)$ માંથી પસાર થતી એક શિરોલંબ રેખા ઉપવલય $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ ને બિંદુઓ $P$ અને $Q$ માં છેદે છે. ધારો કે $P$ અને $Q$ આગળના સ્પર્શકો બિંદુ $R$ માં મળે છે. જો $\Delta(h)=$ ત્રિકોણ $PQR$ નું ક્ષેત્રફળ,$\Delta_1=\max _{1 / 2 \leq h \leq 1} \Delta(h)$ અને $\Delta_2=\min _{1 / 2 \leq h \leq 1} \Delta(h)$ હોય,તો $\frac{8}{\sqrt{5}} \Delta_1-8 \Delta_2=$

જો ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $5/8$ હોય અને તેના નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $10$ હોય,તો તેનું નાભિલંબ શોધો.

ઉપવલય $x^2+2y^2=2$ ને દોરેલા સ્પર્શકો દ્વારા યામ અક્ષો પર કપાતા ભાગના મધ્યબિંદુઓનો બિંદુપથ શોધો.

ધારો કે $F_1$ અને $F_2$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$ ના નાભિઓ છે. $F_1$ માંથી નીકળતું કિરણ ઉપવલયના અરીસા પર બિંદુ $P$ આગળ અથડાય છે અને પરાવર્તિત થાય છે. તો આપાત કિરણ અને પરાવર્તિત કિરણ વચ્ચેના ખૂણાના દ્વિભાજકનું સમીકરણ શું હશે?

$16x^2 + 25y^2 = 400$ ના નાભિઓ (foci) શોધો.