$6$ પુસ્તકોમાંથી,એક અથવા વધુ પુસ્તકોનો સમૂહ કેટલી રીતે પસંદ કરી શકાય?

$3$ છોકરાઓ અને $3$ છોકરીઓને એક ગોળાકાર ટેબલની આસપાસ બેસાડવાના છે. છોકરાઓમાં,$X$ કોઈ પણ છોકરીને પડોશી તરીકે રાખવા માંગતો નથી,અને છોકરીઓમાં,$Y$ કોઈ પણ છોકરાને પડોશી તરીકે રાખવા માંગતી નથી. આવી કેટલી ગોઠવણીઓ શક્ય છે?

$12345$ ના તમામ અંકોની એવી ગોઠવણીઓની સંખ્યા શોધો જેમાં ઓછામાં ઓછા $3$ અંકો તેમના મૂળ સ્થાને ન આવે.

પાંચ સમાન દડાઓને દસ સમાન પેટીઓમાં એવી રીતે વહેંચવાની રીતોની સંખ્યા કેટલી છે કે જેથી કોઈ પણ પેટીમાં એકથી વધુ દડો ન હોય?

$\sum\limits_{r = 0}^m {^{n + r}{C_n} = } $

દસ વ્યક્તિઓ,જેમાં $A, B$ અને $C$ નો સમાવેશ થાય છે,તેમને એક કાર્યક્રમમાં બોલવાનું છે. જો $A$ એ $B$ પહેલાં બોલવા માંગે અને $B$ એ $C$ પહેલાં બોલવા માંગે,તો તેઓ કેટલી રીતે બોલી શકે?