बिंदु A वक्र y = e^{-x^2} पर स्थित है और इसके | vedclass

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Question

(D) त्रिभुज $AOB$ के शीर्ष $O(0, 0)$,$B(x, 0)$,और $A(x, e^{-x^2})$ हैं।चूँकि त्रिभुज $B$ पर समकोण है,इसलिए क्षेत्रफल $A(x)$ इस प्रकार है:$A(x) = \frac

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$\frac{1}{\sqrt{8e}}$

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(D) त्रिभुज $AOB$ के शीर्ष $O(0, 0)$,$B(x, 0)$,और $A(x, e^{-x^2})$ हैं।चूँकि त्रिभुज $B$ पर समकोण है,इसलिए क्षेत्रफल $A(x)$ इस प्रकार है:$A(x) = \frac{1}{2} 	imes 	ext{आधार} 	imes 	ext{ऊँचाई} = \frac{1}{2} 	imes x 	imes e^{-x^2} = \frac{x e^{-x^2}}{2}$.अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $A(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:$A'(x) = \frac{1}{2} [1 \cdot e^{-x^2} + x \cdot e^{-x^2} \cdot (-2x)] = \frac{e^{-x^2}}{2} [1 - 2x^2]$.क्रांतिक बिंदुओं के लिए $A'(x) = 0$ रखने पर:$1 - 2x^2 = 0 \implies x^2 = \frac{1}{2} \implies x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ (चूँकि $x > 0$).अब,$x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ पर अधिकतम क्षेत्रफल की गणना करते हैं:$A_{max} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot e^{-(1/\sqrt{2})^2} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \cdot e^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{2} \sqrt{e}} = \frac{1}{\sqrt{8e}}$.अतः,अधिकतम क्षेत्रफल $\frac{1}{\sqrt{8e}}$ है।

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