left(frac{1}{x}right)^x का अधिकतम मान क्या है | vedclass

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Question

(A) माना $f(x) = (\frac{1}{x})^x = x^{-x}$ है।दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $\ln(f(x)) = -x \ln(x)$ प्राप्त होता है।क्रांतिक बिंदु ज्ञ

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$e^{1/e}$

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(A) माना $f(x) = (\frac{1}{x})^x = x^{-x}$ है।दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $\ln(f(x)) = -x \ln(x)$ प्राप्त होता है।क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:$\frac{d}{dx}(\ln(f(x))) = \frac{d}{dx}(-x \ln(x))$$\frac{f'(x)}{f(x)} = -[\ln(x) + x \cdot \frac{1}{x}] = -(\ln(x) + 1)$।$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $\ln(x) + 1 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\ln(x) = -1$,अतः $x = e^{-1} = \frac{1}{e}$।अब,हम $x = \frac{1}{e}$ के आसपास द्वितीय अवकलज या $f'(x)$ के चिह्न की जाँच करते हैं।$x  0$ और $x > \frac{1}{e}$ के लिए,$f'(x) अधिकतम मान $f(\frac{1}{e}) = (\frac{1}{1/e})^{1/e} = e^{1/e}$ है।

$\left(\frac{1}{x}\right)^x$ का अधिकतम मान क्या है?

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