मान लीजिए f(x) घात 5 का एक बहुपद है जिसके क्र | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $\lim _{x \rightarrow 0}\left(2+\frac{f(x)}{x^{3}}\right)=4$,अतः $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{3}}=2$ है। चूँकि $f(x)$ घात $

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$x=1$ निम्निष्ठ का बिंदु है और $x=-1$ उच्चिष्ठ का बिंदु है।

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(B) दिया गया है $\lim _{x \rightarrow 0}\left(2+\frac{f(x)}{x^{3}}\right)=4$,अतः $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{3}}=2$ है। चूँकि $f(x)$ घात $5$ का बहुपद है,मान लीजिए $f(x) = ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + g$ है। सीमा के अस्तित्व और $2$ होने के लिए,$g=e=d=0$ और $c=2$ होना चाहिए। अतः,$f(x) = ax^5 + bx^4 + 2x^3$ है।$f'(x) = 5ax^4 + 4bx^3 + 6x^2$ है।चूँकि $x=\pm 1$ क्रांतिक बिंदु हैं,$f'(1) = 5a + 4b + 6 = 0$ और $f'(-1) = 5a - 4b + 6 = 0$ है।दोनों को जोड़ने पर $10a + 12 = 0 \Rightarrow a = -6/5$ प्राप्त होता है। घटाने पर $8b = 0 \Rightarrow b = 0$ प्राप्त होता है।अतः,$f(x) = 2x^3 - \frac{6}{5}x^5$ है।$f'(x) = 6x^2 - 6x^4 = 6x^2(1-x^2) = 6x^2(1-x)(1+x)$ है।$x  0$ है। $0  0$ है। $x > 1$ के लिए,$f'(x) $x = -1$ पर,$f'(x)$ ऋणात्मक से धनात्मक में बदलता है,इसलिए यह स्थानीय निम्निष्ठ का बिंदु है।$x = 1$ पर,$f'(x)$ धनात्मक से ऋणात्मक में बदलता है,इसलिए यह स्थानीय उच्चिष्ठ का बिंदु है।विकल्प $B$ कहता है कि $x=1$ निम्निष्ठ का बिंदु है और $x=-1$ उच्चिष्ठ का बिंदु है,जो गलत है।

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