बिंदु P(-3, 2),Q(9, 10) और R(alpha, 4) एक वृत | vedclass

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Question

(A) चूंकि $PR$ व्यास है,इसलिए $\angle PQR = 90^\circ$ है। अतः,$PQ$ और $QR$ की प्रवणताओं (slopes) का गुणनफल $-1$ है।$m_{PQ} = \frac{10-2}{9-(-3)} = \fr

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$3$

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(A) चूंकि $PR$ व्यास है,इसलिए $\angle PQR = 90^\circ$ है। अतः,$PQ$ और $QR$ की प्रवणताओं (slopes) का गुणनफल $-1$ है।$m_{PQ} = \frac{10-2}{9-(-3)} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.$m_{QR} = \frac{4-10}{\alpha-9} = \frac{-6}{\alpha-9}$.चूंकि $m_{PQ} \cdot m_{QR} = -1$,इसलिए $\frac{2}{3} \cdot \left(\frac{-6}{\alpha-9}\right) = -1$ $\Rightarrow \frac{-4}{\alpha-9} = -1$ $\Rightarrow \alpha-9 = 4$ $\Rightarrow \alpha = 13$.अतः,$R = (13, 4)$। वृत्त का केंद्र $O$,$PR$ का मध्य-बिंदु है,$O = \left(\frac{-3+13}{2}, \frac{2+4}{2}\right) = (5, 3)$।$Q(9, 10)$ पर स्पर्शरेखा त्रिज्या $OQ$ के लंबवत है। $m_{OQ} = \frac{10-3}{9-5} = \frac{7}{4}$।स्पर्शरेखा $QS$ की प्रवणता $= -\frac{4}{7}$।$QS$ का समीकरण: $y-10 = -\frac{4}{7}(x-9)$ $\Rightarrow 7y - 70 = -4x + 36$ $\Rightarrow 4x + 7y = 106 \quad (1)$।$R(13, 4)$ पर स्पर्शरेखा त्रिज्या $OR$ के लंबवत है। $m_{OR} = \frac{4-3}{13-5} = \frac{1}{8}$।स्पर्शरेखा $RS$ की प्रवणता $= -8$।$RS$ का समीकरण: $y-4 = -8(x-13)$ $\Rightarrow y-4 = -8x + 104$ $\Rightarrow 8x + y = 108 \quad (2)$।$(1)$ और $(2)$ को हल करने पर: $(2)$ से,$y = 108 - 8x$। इसे $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:$4x + 7(108 - 8x) = 106$ $\Rightarrow 4x + 756 - 56x = 106$ $\Rightarrow 52x = 650$ $\Rightarrow x = \frac{650}{52} = 12.5 = \frac{25}{2}$।$y = 108 - 8(\frac{25}{2}) = 108 - 100 = 8$।$S = (12.5, 8)$। चूंकि $S$,$2x - ky = 1$ पर स्थित है:$2(12.5) - k(8) = 1$ $\Rightarrow 25 - 8k = 1$ $\Rightarrow 8k = 24$ $\Rightarrow k = 3$.

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