सिद्ध कीजिए कि संख्या $\sqrt{21}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(N/A) मान लीजिए कि इसके विपरीत,$\sqrt{21}$ एक परिमेय संख्या है।
अतः,दो सह-अभाज्य धनात्मक पूर्णांक $a$ और $b$ $(b \neq 0)$ ऐसे विद्यमान हैं कि $\sqrt{21} = \frac{a}{b}$ हो।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $21 = \frac{a^2}{b^2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a^2 = 21b^2$।
इसका अर्थ है कि $a^2$,$21$ से विभाज्य है,इसलिए $a$ भी $21$ से विभाज्य होना चाहिए (क्योंकि $21$ दो भिन्न अभाज्य संख्याओं $3$ और $7$ का गुणनफल है)।
मान लीजिए $a = 21k$ किसी पूर्णांक $k$ के लिए।
इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(21k)^2 = 21b^2$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $441k^2 = 21b^2$ या $b^2 = 21k^2$ हो जाता है।
यह दर्शाता है कि $b^2$,$21$ से विभाज्य है,इसलिए $b$ भी $21$ से विभाज्य होना चाहिए।
इस प्रकार,$a$ और $b$ का एक उभयनिष्ठ गुणनखंड $21$ है,जो हमारी इस धारणा का खंडन करता है कि $a$ और $b$ सह-अभाज्य हैं।
अतः,हमारी धारणा गलत है और $\sqrt{21}$ एक अपरिमेय संख्या है।