सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक पूर्णांक का वर्ग $3m$ या $3m+1$ के रूप का होता है,जहाँ $m \in \mathbb{Z}$ है।

(N/A) माना कि $a$ कोई पूर्णांक है। यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,किसी भी पूर्णांक $a$ और भाजक $b=3$ के लिए,अद्वितीय पूर्णांक $q$ और $r$ इस प्रकार विद्यमान हैं कि $a = 3q + r$,जहाँ $0 \le r < 3$ है।
अतः,$r$ के संभावित मान $0, 1, 2$ हैं।
स्थिति $1$: यदि $r = 0$ है,तो $a = 3q$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$a^2 = (3q)^2 = 9q^2 = 3(3q^2)$। माना $m = 3q^2$,तो $a^2 = 3m$ प्राप्त होता है।
स्थिति $2$: यदि $r = 1$ है,तो $a = 3q + 1$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$a^2 = (3q + 1)^2 = 9q^2 + 6q + 1 = 3(3q^2 + 2q) + 1$। माना $m = 3q^2 + 2q$,तो $a^2 = 3m + 1$ प्राप्त होता है।
स्थिति $3$: यदि $r = 2$ है,तो $a = 3q + 2$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$a^2 = (3q + 2)^2 = 9q^2 + 12q + 4 = 9q^2 + 12q + 3 + 1 = 3(3q^2 + 4q + 1) + 1$। माना $m = 3q^2 + 4q + 1$,तो $a^2 = 3m + 1$ प्राप्त होता है।
अतः,सभी स्थितियों में पूर्णांक का वर्ग $3m$ या $3m+1$ के रूप का होता है।