સાબિત કરો કે દરેક પૂર્ણાંકનો વર્ગ $3m$ અથવા $3m+1$ સ્વરૂપમાં હોય છે,જ્યાં $m \in \mathbb{Z}$.

(N/A) ધારો કે $a$ કોઈ પણ પૂર્ણાંક છે. યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ,કોઈપણ પૂર્ણાંક $a$ અને ભાજક $b=3$ માટે,અનન્ય પૂર્ણાંકો $q$ અને $r$ એવા મળે કે જેથી $a = 3q + r$,જ્યાં $0 \le r < 3$ થાય.
આમ,$r$ ની શક્ય કિંમતો $0, 1, 2$ છે.
કિસ્સો $1$: જો $r = 0$ હોય,તો $a = 3q$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$a^2 = (3q)^2 = 9q^2 = 3(3q^2)$. ધારો કે $m = 3q^2$,તો $a^2 = 3m$ મળે.
કિસ્સો $2$: જો $r = 1$ હોય,તો $a = 3q + 1$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$a^2 = (3q + 1)^2 = 9q^2 + 6q + 1 = 3(3q^2 + 2q) + 1$. ધારો કે $m = 3q^2 + 2q$,તો $a^2 = 3m + 1$ મળે.
કિસ્સો $3$: જો $r = 2$ હોય,તો $a = 3q + 2$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$a^2 = (3q + 2)^2 = 9q^2 + 12q + 4 = 9q^2 + 12q + 3 + 1 = 3(3q^2 + 4q + 1) + 1$. ધારો કે $m = 3q^2 + 4q + 1$,તો $a^2 = 3m + 1$ મળે.
આમ,દરેક કિસ્સામાં પૂર્ણાંકનો વર્ગ $3m$ અથવા $3m+1$ સ્વરૂપમાં હોય છે.