સાબિત કરો કે $\tan ^{-1} x+\tan ^{-1} \frac{2 x}{1-x^{2}}=\tan ^{-1}\left(\frac{3 x-x^{3}}{1-3 x^{2}}\right)$,જ્યાં $|x| < \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(A) ધારો કે $x = \tan \theta$. તો $\theta = \tan ^{-1} x$.
$R.H.S.$ ધ્યાનમાં લો:
$\tan ^{-1}\left(\frac{3 x-x^{3}}{1-3 x^{2}}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{3 \tan \theta - \tan ^{3} \theta}{1-3 \tan ^{2} \theta}\right)$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\tan 3\theta = \frac{3 \tan \theta - \tan ^{3} \theta}{1-3 \tan ^{2} \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$= \tan ^{-1}(\tan 3 \theta) = 3 \theta$
કારણ કે $3\theta = \theta + 2\theta$,આપણે લખી શકીએ:
$= \tan ^{-1} x + 2 \tan ^{-1} x$
$|x|<1$ માટે સૂત્ર $2 \tan ^{-1} x = \tan ^{-1} \left(\frac{2x}{1-x^2}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \tan ^{-1} x + \tan ^{-1} \left(\frac{2x}{1-x^2}\right) = L.H.S.$
આમ,નિત્યસમ સાબિત થાય છે.