સાબિત કરો કે $y = \frac{4 \sin \theta}{2 + \cos \theta} - \theta$ એ અંતરાલ $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ માં $\theta$ નું વધતું વિધેય છે.

(A) આપેલ વિધેય: $y = \frac{4 \sin \theta}{2 + \cos \theta} - \theta$
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{d\theta} = \frac{(2 + \cos \theta)(4 \cos \theta) - (4 \sin \theta)(-\sin \theta)}{(2 + \cos \theta)^2} - 1$
પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{dy}{d\theta} = \frac{8 \cos \theta + 4 \cos^2 \theta + 4 \sin^2 \theta}{(2 + \cos \theta)^2} - 1$
કારણ કે $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$:
$\frac{dy}{d\theta} = \frac{8 \cos \theta + 4(1)}{(2 + \cos \theta)^2} - 1 = \frac{8 \cos \theta + 4 - (4 + 4 \cos \theta + \cos^2 \theta)}{(2 + \cos \theta)^2}$
$\frac{dy}{d\theta} = \frac{4 \cos \theta - \cos^2 \theta}{(2 + \cos \theta)^2} = \frac{\cos \theta (4 - \cos \theta)}{(2 + \cos \theta)^2}$
અંતરાલ $\theta \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ માં,આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos \theta \ge 0$ અને $4 - \cos \theta > 0$ (કારણ કે $\cos \theta \le 1$ છે).
વળી,તમામ $\theta$ માટે $(2 + \cos \theta)^2 > 0$ છે.
તેથી,તમામ $\theta \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ માટે $\frac{dy}{d\theta} \ge 0$ થાય છે.
આમ,વિકલિત અઋણ હોવાથી અને વિધેય સંવૃત અંતરાલમાં સતત હોવાથી,$y$ એ $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ માં વધતું વિધેય છે.