સાબિત કરો કે $(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}+\vec{b})=|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}$ થાય,જો અને માત્ર જો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ પરસ્પર લંબ હોય,જ્યાં $\vec{a} \neq \vec{0}, \vec{b} \neq \vec{0}$ આપેલ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}+\vec{b})=|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}$
અદિશ ગુણાકારના વિભાજનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^{2} + |\vec{b}|^{2}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^{2}$,$\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^{2}$,અને અદિશ ગુણાકાર ક્રમનો નિયમ પાળે છે $(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a})$:
$|\vec{a}|^{2} + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^{2} = |\vec{a}|^{2} + |\vec{b}|^{2}$
બંને બાજુથી $|\vec{a}|^{2} + |\vec{b}|^{2}$ બાદ કરતા:
$2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0$
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$
અહીં $\vec{a} \neq \vec{0}$ અને $\vec{b} \neq \vec{0}$ હોવાથી,બે શૂન્યતર સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય તો જ તેઓ પરસ્પર લંબ હોય. તેથી,$\vec{a} \perp \vec{b}$.