સાબિત કરો કે $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ અસંમેય સંખ્યા છે.

ધારો કે $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ એ સંમેય સંખ્યા છે. ધારો કે $\sqrt{2}+\sqrt{3} = a$,જ્યાં $a$ એ સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,$\sqrt{2} = a - \sqrt{3}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે:
$(\sqrt{2})^2 = (a - \sqrt{3})^2$
$2 = a^2 + 3 - 2a\sqrt{3}$
$\sqrt{3}$ ને અલગ કરવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા:
$2a\sqrt{3} = a^2 + 3 - 2$
$2a\sqrt{3} = a^2 + 1$
$\sqrt{3} = \frac{a^2 + 1}{2a}$
અહીં $a$ સંમેય સંખ્યા હોવાથી,$\frac{a^2 + 1}{2a}$ પણ સંમેય સંખ્યા થાય. આનો અર્થ એ થાય કે $\sqrt{3}$ સંમેય છે.
પરંતુ,આ હકીકતનો વિરોધાભાસ છે કે $\sqrt{3}$ અસંમેય સંખ્યા છે. આ વિરોધાભાસ આપણી શરૂઆતની ધારણા કે $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ સંમેય છે,તેના કારણે ઉદ્ભવ્યો છે.
તેથી,આપણે કહી શકીએ કે $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ અસંમેય સંખ્યા છે.