સાબિત કરો કે દરેક ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે $n^{2}-n$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય છે.

આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $n$ એ $2m$ અથવા $2m+1$ સ્વરૂપમાં હોય છે,જ્યાં $m$ એ અનૃણ પૂર્ણાંક છે.
કિસ્સો $1$: જો $n = 2m$ હોય,તો
$n^{2} - n = (2m)^{2} - (2m) = 4m^{2} - 2m = 2(2m^{2} - m)$.
અહીં $2(2m^{2} - m)$ એ $2$ નો ગુણક હોવાથી,$n^{2} - n$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય છે.
કિસ્સો $2$: જો $n = 2m + 1$ હોય,તો
$n^{2} - n = (2m + 1)^{2} - (2m + 1) = (4m^{2} + 4m + 1) - 2m - 1 = 4m^{2} + 2m = 2(2m^{2} + m)$.
અહીં $2(2m^{2} + m)$ એ $2$ નો ગુણક હોવાથી,$n^{2} - n$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય છે.
આમ,બંને કિસ્સાઓમાં દરેક ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે $n^{2} - n$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય છે.